Анотація до роботи:

Волчкова Н. П. Обернення локального перетворення Помпейю на евклідових та гіперболічних просторах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено питанням обернення локального перетворення Помпейю на евклідових і гіперболічних просторах та застосуванню отриманих результатів в комплексному аналізі, теорії апроксимації та теорії відображень, що зберігають міру.

В дисертації знайдено розв’язок проблеми про обернення локального перетворення Помпейю на кватерніонному гіперболічному просторі для деяких сімей розподілів. Отримані результати дозволили довести локальні теореми про два радіуси на , локальну теорему про один радіус на , нову теорему типу Морери в багатовимірному комплексному аналізі, теорему про апроксимацію в просторі , , індикаторами, нову теорему в теорії відображень, що зберігають міру.

Отримано також нові теореми про обернення локального перетворення Помпейю на . Результати дисертації можуть бути використані при розв’язанні різних задач, що пов’язані з інтегральними середніми, та їх застосуваннями в різних областях аналізу.

В дисертації вивчаються питання, пов’язані з відновленням функції за її відомими інтегральними середніми на евклідовому та кватерніонному гіперболічному просторах.

Отримано розв’язок проблеми про обернення локального перетворення Помпейю на кватерніонному гіперболічному просторі в наступних випадках:

1), де , , – поверхнева дельта-функція геодезичної сфери із , , і сферичні перетворення та не мають спільних нулів.

2), де – індикатор відкритої геодезичної кулі із , , .

3), де , і сферичні перетворення та не мають спільних нулів.

Як застосування перелічених вище результатів отримано:

1) локальні теореми про два радіуси на ;

2) локальну теорему про один радіус на ;

3) нову теорему типу Морери в багатовимірному комплексному аналізі;

4) достатні умови замкненості в просторі , , системи функцій

де – група ізометрій ;

5) нову теорему в теорії відображень, що зберігають міру.

Отримано розв’язок задачі про обернення локального перетворення Помпейю на у випадку, коли більше діаметру круга, що описаний навколо , а компакт є однією із наступних множин:

1) – трикутник; 2) – рівнобедрена трапеція; 3) – сегмент; 4) – круговий серпок; 5) – сектор розхилу .

Знайдено також деякі узагальнення одержаних теорем на багатовимірний випадок.

Результати дисертації можуть бути використані при розв’язанні різних задач, що пов’язані з інтегральними середніми, та їх застосуваннями в різних областях аналізу.

Публікації автора:

1. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Доклады Академии Наук. – 2001. Т. – 379. – № 5. – С. 587-590.

2. Волчкова Н. П. Об обращении локального преобразования Помпейю // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – Т. 7. – Донецк: ИПММ НАНУ. – 2002. – С. 45-50.

3. Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю для некоторого класса призм в // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. – 2002. – Вип. 7. – С. 30-36.

4. Волчкова Н. П. Об обращении локального преобразования Помпейю // Укр. мат. журнал. – 2003 – Т. 55. – № 7. – С. 875-880.

5. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Теоремы об обращении локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Алгебра и анализ. – 2003. – Т. 15. Вып. 5. – С. 169-197.

6. Volchkova N. P. Inversion of the local Pompeiu transform // Functional Analysis and its Applications. – Elsevier. – 2004. – V. 197. P. 301-309.

7. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. О восстановлении функции по ее шаровым средним на кватернионном гиперболическом пространстве // International conference on complex analysis and potential theory. Ukraine, Kiev. 7 – 12 August. – 2001. Abstracts. – P. 67-68.

8. Volchkova N. P. The inversion of the local Pompeiu transform // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Dedicated to the anniversary of Stefan Banach. Book of Abstracts. May 28 – 31. Lviv. Ukraine. – 2002. – P. 211.

9. Volchkova N. P. The inversion of the local Pompeiu transform // Перша літня школа з топологічної алгебри і функціонального аналізу. 22 – 31 липня. Львів - Козево. – 2003. – С. 42.

10. Волчкова Н. П. Функции с нулевыми интегралами по некоторым множествам и их приложения // Геометрический анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы – конференции. Волгоград. 24 – 30 мая. – 2004. – С. 29 –31.