Анотація до роботи:

Массалітіна Є. В. Одновимірні та багатовимірні інтегральні нерівності для неперервних та розривних функцій та їх застосування. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена отриманню оцінок для неперервних та розривних функцій, які задовольняють одновимірним та багатовимірним, лінійним та нелінійним інтегральним нерівностям. При знаходженні оцінок для функцій двох змінних, які мають скінченні розриви різноманітного характеру на деяких заданих кривих, були використані теорія міри та інтеграл Лебега–Стілтьєса. Цей підхід дозволив об’єднати в одному результаті два випадки:

1) – міра Лебега – Стілтьєса, яка зосереджена на кривій – дискретна;

2) – міра Лебега – Стілтьєса, яка зосереджена на кривій – абсолютно- неперервна.

У дисертаційній роботі отримано оцінки для кусково-неперервної функції однієї змінної, яка задовольняє інтегральній та функціональній нерівності Перова, оцінки для розривних функцій двох змінних, які задовольняють нерівностям типу Вендрофа, Перова, Біхарі та інш. і мають скінченні розриви різноманітного характеру на деяких заданих кривих.

Показана можливість застосування отриманих результатів:

a) в теорії рівнянь гіперболічного типу – при розгляді задачі Гурса з даними на характеристиках для функції, яка на кривих отримує імпульсні збурення різноманітного характеру, які описуються за допомогою інтеграла Лебега–Стілтьєса

,

а також при дослідженні обмеженості розв’язків рівнянь гіперболічного типу з імпульсними збуреннями;

б) в якісній теорії систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням – при дослідженні розв’язків систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням на практичну та рівномірну практичну стійкість.

Дисертаційна робота присвячена отриманню оцінок для неперервних та розривних функцій, які задовольняють одновимірним та багатовимірним, лінійним та нелінійним інтегральним нерівностям. Характерною відмінністю отриманих результатів є те, що при знаходженні оцінок для розривних функцій двох змінних були використані теорія міри та інтеграл Лебега–Стілтьєса. Цей підхід дозволив об’єднати в одному результаті два випадки:

1) – міра Лебега – Стілтьєса, яка зосереджена на кривій – дискретна;

2) – міра Лебега – Стілтьєса, яка зосереджена на кривій – абсолютно-неперервна.

Показана можливість застосування отриманих оцінок:

a) в теорії рівнянь гіперболічного типу – при розгляді задачі Гурса з даними на характеристиках для функції, яка на заданих кривих отримує імпульсні збурення різноманітного характеру, які описуються за допомогою інтеграла Лебега–Стільтєса, а також при дослідженні обмеженості розв’язків рівнянь гіперболічного типу з імпульсними збуреннями;

б) в якісній теорії систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням – при дослідженні розв’язків систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням на

практичну та рівномірну практичну стійкість.

Основними новими результатами дисертації є наступні:

отримано оцінки для кусково-неперервної функції однієї змінної, яка задовольняє інтегральній та функціональній нерівності Перова;

отримано оцінки для розривних функцій двох змінних, які задовольняють нерівностям типу Вендрофа, Перова, Біхарі та мають скінченні розриви різноманітного характеру на деяких заданих кривих;

знайдено оцінки для функції, яка задовольняє задачі Гурса та на заданих кривих отримує імпульсні збурення різноманітного характеру (розглянуто два випадки, в яких рівняння гіперболічного типу мають різний вигляд);

досліджено обмеженість розв’язків рівнянь гіперболічного типу з імпульсними збуреннями;

отримано умови практичної стійкості та рівномірної практичної стійкості розв’язків систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням.

Одержані результати та методика доведень мають в основному, теоретичне значення. Строге математичне обґрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Запропоновані підходи знаходження оцінок можуть бути узагальнені на випадок функцій з більшою кількістю змінних, де функції вже будуть мати скінченні розриви на деяких заданих поверхнях.

Публікації автора:

1. Массалітіна Є. В. Багатовимірні нелінійні інтегральні нерівності // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2000. – № 6. – С. 149–155.

2. Массалітіна Є. В. Про інтегро-сумарні нерівності та їх застосування в задачах стійкості імпульсних систем // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2001. – № 5. – С. 138–143.

3. Массалітіна Є. В. Оцінка для функції двох змінних, що задовольняє нерівність Біхарі і отримує імпульсні збурення // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2004. – №3. – С. 140–143.

4. Массалітіна Є. В. Про інтегро-сумарну нерівність Перова для функцій двох змінних // Укр. мат. журн. – 2004. – Т. 56, № 11. – С. 1569–1575.

5. Массалітіна Є. В. Оцінка функції, яка задовольняє задачі Гурса // Вісник Харківського університету. Серія „Математика, прикладна математика і механіка.” – 2005. – №711. – С. 8–16.

6. Массалітіна Є. В. Лінійні інтегро-сумарні нерівності для функцій двох змінних // IX Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Матеріали конф. 11–14 травня 2000 р., Київ. – 2000. – С. 29–31.

7. Борисенко С. Д., Массалітіна Є. В. Про нерівність Перова для розривних функцій та її застосування в задачах стійкості // УМК – 2001 (Київ 27–29 серпня 2001 р.): Тез. доп., 2001. – С. 22–23.

8. Массалітіна Є. В. Нелінійні інтегро-сумарні нерівності для функцій двох змінних // VI Міжнар. наук. конф. „Метод функцій Ляпунова та його застосування”. Матеріали конф. 8–15 вересня 2002 р., Алушта. – 2002. – С. 96.

9. Борисенко С. Д., Оболенський А. Ю., Массалітіна Є. В. Задача Гурса з імпульсними збуреннями // Міжнар. наук. конф. „Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем”. Матеріали конф. 27–30 травня 2003 р., Київ. – 2003. – С. 34–35.

10. Массалітіна Є. В. Інтегральна оцінка для функції, яка задовольняє задачі Гурса // VII Міжнар. наук. конф „Метод функцій Ляпунова та його застосування”. Матеріали конф. 11–18 вересня 2004 р., Алушта, 2004. – С. 101.