Анотація до роботи:

Кириченко Є.В. Однозначна розв’язність крайових задач для загальних диференціальних рівнянь в напівалгебраїчних областях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

У дисертації досліджуються питання порушення єдиності розв’язку граничних задач для загальних диференціальних рівнянь з частинними похідними в напівалгебраїчних областях. При вивченні першої крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку з комплексними коефіцієнтами і неоднорідним символом в плоскому куті отримано необхідну і достатню умову нетривіальної розв’язності цієї задачі в просторі функцій класу з поліноміальним ростом на нескінченності. Доведено необхідну умову нетривіальної розв’язності задачі “майже Коші” для диференціального рівняння довільного високого порядку в багатокутнику. Ця умова є достатньою для порушення єдиності розв’язку задачі, яка містить одну граничну умову.

Особливу увагу приділено дослідженню задачі Діріхле в кулі для ультрагіперболічного рівняння. У цьому напрямку отримано критерій нетривіальної розв’язності, який сформульовано в термінах нулів поліномів Якобі. Подається повна класифікація випадків існування нетривіальних розв’язків. Дослідження охоплює як зональні, так і тесеральні сферичні функції.

У роботі розглядається задача Діріхле в одиничному колі для диференціального рівняння другого порядку, коефіцієнтами якого є комплексні переставні -матриці. Доведено критерій нетривіальної розв’язності цієї задачі в соболевському просторі вектор-функцій. При за допомогою отриманого результату побудовано приклад системи, оператор задачі Діріхле якої має нескінченновимірне нетривіальне ядро.

У дисертації вивчаються питання нетривіальної розв’язності задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння в кулі, для безтипового рівняння другого порядку з комплексними коефіцієнтами і неоднорідним символом в куті на площині, для рівняння другого порядку з переставними комплексними матричними коефіцієнтами, а також задачі “майже Коші” в багатокутнику для безтипового диференціального рівняння довільного високого порядку. Підкреслимо найбільш важливі результати, отримані в дисертації.

1. Доведено необхідну і достатню умову порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в плоскому куті в просторах функцій помірного зростання для деякого класу диференціальних рівнянь, пов’язаного з наданим кутом. Проведено порівняння отриманого результату з відомим розв’язком рівняння Лапласа, із якого випливає, що ця функція не породжує розв’язок задачі (1), (2) при допустимих зсувах вектора .

2. При дослідженні задачі Діріхле для оператора Лапласа з молодшими членами отримано критерій порушення єдиності в термінах -раціональності міри кута.

3. Доведено необхідну умову нетривіальної розв’язності задачі “майже Коші” в багатокутнику на площині для безтипового рівняння довільного високого порядку. Ця умова виявляється достатньою для порушення єдиності розв’язку задачі, яка містить одну граничну умову і розглядається для того самого рівняння.

4. При вивченні питань однозначної розв’язності задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння в кулі застосовано метод двоїстості рівняння-область, який дозволяє встановити критерій порушення єдиності розв’язку в термінах нулів поліномів Якобі.

5. Розв’язок двоїстої задачі розкладено в ряд за сферичними функціями. При цьому рівняння (8) зводиться до звичайного диференціального рівняння (9), а умова Діріхле – до співвідношення на параметр ультрагіперболічного рівняння. Рівняння (9) зводиться до чотирьох еквівалентних між собою гіпергеометричних рівнянь, аналіз яких допомагає довести критерій поліноміальності розв’язку рівняння (9).

6. Окремо розглянуто випадки малих розмірностей і встановлено зв’язок з отриманими раніше результатами. Побудовано в явному вигляді формальний розв’язок першої крайової задачі в одиничній кулі для ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною.

7. Отримано критерій порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в одиничному колі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з комплексними коефіцієнтами у вигляді рівності нулю визначника, який залежить від коефіцієнтів рівнянь. Цей результат застосовано для побудови прикладу системи, для якої оператор задачі Діріхле в колі має нетривіальне і нескінченновимірне ядро.

Публікації автора:

1. Лесина Е.В. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка в круге / Бурский В.П., Лесина Е.В., Самойлова О.В. // Нелинейные граничные задачи. – 2003. – Т.13. – С. 56-62.

2. Кириченко Е.В. О решении дифференциального уравнения, возникающего в задаче Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре / Кириченко Е.В. // Труды ИПММ НАНУ.
   – 2005. – Т.10. – С. 59-71.

3. Кириченко Е.В. О решении одной краевой задачи в многоугольнике / Кириченко Е.В. // Труды ИПММ НАНУ. – 2007. – Т. 13. – С. 103-109.

4. Кириченко Е.В. О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка / Бурский В.П., Кириченко Е.В. // Нелинейные граничные задачи. – 2007. – Т.17.
   – С.20-30.

5. Кириченко Е.В. Однозначная разрешимость задачи Дирихле в шаре для ультрагиперболического уравнения / Бурский В.П., Кириченко Е.В. // Дифференциальные уравнения. – 2008. – Т. 44, №4. – С. 467-479.

6. Lesina E.V. On the uniqueness violation of the Dirichlet problem in a disk for differential equations with commuting matrix coefficients / Lesina E.V. // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts. – Alushta, September 15-21, 2003. – P. 119.

7. Lesina E.V. The Dirichlet problem in a disk for differential equations of the second order with matrix coefficients / Lesina E.V. // Міжнародна математична конференція імені В.Я.Скоробогатька. Тези доповідей. – Дрогобич, 27 вересня-1 жовтня, 2004. – С. 121.

8. Kirichenko E.V. On the Dirichlet problem in a ball for ultrahyperbolic equation / Burskii V.P., Kirichenko E.V. // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts. – Alushta, September 17-23, 2005. – P. 22.

9. Кириченко Е.В. О задаче Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре /
   Бурский В.П., Кириченко Е.В. // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. Тези доповідей. – Донецьк. – 2006. – С. 23.

10. Kirichenko E.V. On the solution existence of the Dirichlet problem for the equation with matrix coefficients / Kirichenko E.V. // International Conference "Differential equations" dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B.Lopatynsky. Book of abstracts. – Lviv, September 12-17, 2006.
    – P. 105.

11. Kirichenko E.V. On the uniqueness of the Dirichlet problem solution for ultrahyperbolic equation in a ball / Kirichenko E.V., Burskii V.P. // International Conference "Differential equations and its applications". Book of abstracts. – Чернівці, Жовтень 11-14, 2006. – P. 193.

12. Kirichenko E.V. On the Dirichlet problem in the angle for second order differential equation / Kirichenko E.V. // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts. – Yalta, September 10-15, 2007. – P. 36-37.

13. Кириченко Є.В. Порушення єдиності розв'язків граничних задач для безтипних рівнянь в областях з кутовими точками / Бурський В.П., Кириченко Є.В. // Міжнародна математична конференція імені В.Я.Скоробогатька. Тези доповідей. – Дрогобич, 24 вересня-28 вересня, 2007. – С. 45.

14. Кириченко Е.В. О задаче Дирихле для уравнения второго порядка с матричными коэффициентами / Кириченко Е.В. // Международная научная школа-конференция "Тараповские чтения". Тезисы докладов. – Харьков, 21-25 апреля, 2008. – C. 194-195.