Анотація до роботи:

Яковлєв О.В. Операторний підхід до проблеми малих рухів в’язкопружних середовищ.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 – математична фізика. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню еволюційних і спектральних задач про малі поперечні коливання в’язкопружного стержня в середовищі із в’язким тертям і про малі рухи твердого тіла з порожниною, яка повністю заповнена в’язкопружною рідиною.

Вихідні початково-крайові задачі описують механічну систему у випадку зі стрижнем і вагою на кінці, і гідромеханічну, у випадку із твердим тілом з порожниною. При розгляді даних задач застосована однакова методика дослідження, яка дозволила довести існування та одиничність сильного розв’язку вихідних задач, а також визначити структуру спектра та властивості системи власних і приєднаних елементів.

Суть дослідження еволюційних задач полягає в тому, що вихідна початково-крайова задача про малі рухи шляхом введення спеціально підібраних гільбертових просторів зводяться до задачі Коши для диференціального рівняння в гільбертовому просторі. Потім використовуються загальні факти теорії стискаючих напівгруп, і це дозволяє отримати результат про сильну можливість розв'язання вихідної початково-крайової задачі.

Досліджено спектральні задачі про власні коливання в’язкопружного стержня і твердого тіла з порожниною. Вивчено структуру спектру частот нормальних коливань.

Отримано результати про властивості системи власних і приєднаних елементів.

При розгляді задач про нормальні коливання використані методи теорії самоспряжених операторів у просторах з індефінітною метрикою та спектральної теорії операторних пучків.

Розглянуто окремі та вироджені випадки.

Надано фізичне пояснення отриманим результатам.

Таким чином, основними результатами, які виносяться на захист є:

1. Розроблено підхід, що дозволяє початково-крайову задачу про малі поперечні коливання в’язкопружного стержня з вагою на кінці трактувати як задачу Коши для повного лінійного диференціального рівняння другого порядку в гільбертовому просторі, а цю задачу, у свою чергу, привести до задачі Коши для системи диференціальних рівнянь першого порядку з матричним операторним коефіцієнтом, що є генератором голоморфної напівгрупи операторів.

2. Доведено теорему існування сильного розв’язку початково-крайової задачі про поперечні коливання в’язкопружного стержня з вагою на кінці.

3. Досліджено нормальні коливання стержня з вагою на кінці. Встановлено, що спектр задачі дискретний, із двома граничними точками на додатній піввісі: скінченої та нескінченої. Надано фізичне пояснення наявності двох гілок власних значень, визначено їх асимптотичну поведінку.

4. Доведено теореми про базисність системи кореневих елементів спектральної задачі про нормальні коливання в’язкопружного стержня з вагою на кінці.

5. Досліджені малі рухи й нормальні коливання в’язкопружного стержня у випадку, коли відсутні сили зовнішнього тертя та стискаюча розподілена сила. Отримано явний вираз для розв’язка початково-крайової задачі, а також формули для обчислення власних значень і власних елементів спектральної задачі. Описана міграція точок спектру при зміні параметра внутрішнього тертя, сформульовані фізичні висновки.

6. Вивчена двовимірна (плоска) задача про малі рухи й нормальні коливання твердого тіла (маятника) з порожниною, яка заповнена в’язкопружною рідиною, що відповідає узагальненій моделі Олдройта. Доведено теорему про існування сильного розв’язка цієї задачі.

7. Досліджено спектр нормальних коливань маятника з в’язкопружною рідиною. Встановлено, що цей спектр дискретний, всі власні значення, крім, можливо, скінченого числа, розташовані на додатній піввісі й розбиваються на скінчене число гілок із граничними точками на нескінченності та у скінченому числі точок, що залежить від вибору моделі в’язкопружної рідини. Доведено теореми про базисність системи кореневих елементів спектральної задачі. Розглянуто граничний випадок великої в'язкості рідини. Отримані асимптотичні формули для всіх гілок власних значень, а також асимптотика великої в'язкості для комплексної частоти коливань маятника (з порожниною) як цілого. Дано фізичне пояснення отриманим результатам.

Публікації автора:

1. Яковлев А.В. Колебания плоского маятника с полостью, полностью заполненной вязкоупругой жидкостью // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского.– 1999.– № 12.– С. 93-98.

2. Яковлев А.В. Задача о движении твердого тела с полостью, полностью заполненной вязкоупругой жидкостью // Динамические системы.– 2001.– № 17.– С. 133-137.

3. Яковлев А.В. Малые поперечные колебания вязкоупругого стержня с грузом на конце // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И.Вернадского.– 2002.– № 15.– С. 105-114.

4. Яковлев А.В. Задача о нормальных колебаниях вязкоупругого стержня с грузом на конце // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского.– 2003.– № 16.– С. 28-42.

5. Яковлєв О.В. Про малі рухи твердого тiла з порожниною, заповненою в'язкопружною рідиною // Наукові вісті НТУУ „КПІ”.– 2005.– № 2.– С. 152-155.

6. Yakovlev A. On an evolutional problem on small transverse oscillations of a vico-elastic rod with a load at the end // Spectral and evolutional problems / Proceedings of KROMSH-6.– 1996.– V. 6.– P. 330-339.

7. Yakovlev A. On small movements of a solid body with a cavity completely filled by visco-elastic fluid // Mark Krein Intern. Conference. Operator Theory and Appl. Book of Abstracts. August 18-22, 1997, Odessa, Ukraine.– Р. 130-131.