Анотація до роботи:

Кирилюк В.С. Оптимальні рішення в умовах ризику на основі апарата багатозначних відображень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики. – Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

Дисертацію присвячено питанням розробки підходів та відповідного математичного апарата для прийняття оптимальних рішень в умовах ризику. Введено клас поліедральних когерентних мір ризику, а задачі оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик зведено до відповідних задач лінійного програмування, що відкриває шлях для ефективних обчислень. Досліджено різноманітні задачі оптимізації портфеля, у тому числі, при невідомих ймовірностях сценаріїв, а також для різних багатокритеріальних постановок. Вивчено проблеми оптимізації паралельно-послідовних систем з відмовами двох типів та їх узагальнення, побудовано ефективні алгоритми пошуку рішень. Розвинуто апарат багатозначних відображень: побудовано новий дотичний конус для графіка відображень та отримано нові результати щодо різних властивостей багатозначних відображень. Підхід ефективної границі для оцінювання систем за спостереженнями вхід-вихід розвинуто для випадку двох типів входів та виходів, що дозволяє досліджувати системи з ризиком.

Результатом дисертаційного дослідження є розроблені підходи до прийняття оптимальних рішень в умовах ризику у відповідно сформульованих проблемах та адекватний математичний апарат, що дозволяє ефективно розв’язувати поставлені задачі. Отже, цей результат включає введені нові поняття, розроблені нові підходи, відповідно сформульовані оптимізаційні задачі, а також математичний апарат, запропонований для їх ефективного розв’язання.

У рамках проведених досліджень отримані такі основні результати:

1. Введено та досліджено новий клас ПКМР; задачі оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик для мір ризику з цього класу зведено до відповідних задач ЛП.

2. Узагальнено поняття ПКМР та відповідні результати щодо оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик.

3. Досліджено задачі та методи оптимізації портфеля при невизначеності щодо ймовірностей сценаріїв p₀, зумовленій оцінкою p₀P.

4. Узагальнено поняття міри ризику на випадок багатовимірної випадкової величини як відповідного багатозначного відображення; досліджено оптимальність портфеля у багатовимірному випадку: розглянуто різноманітні постановки оптимізаційних задач та запропоновано методи для їх розв’язання.

5. Досліджено задачі оптимізації портфеля за узагальненим відношенням Шарпа та їх зведення до задач ЛП; сформульовано необхідні умови екстремуму для різноманітних постановок задач оптимізації портфеля.

7. Досліджено якісні властивості задач оптимізації систем з двома типами відмов як вихідної цілочисельної постановки, так і її неперервного аналога; сформульовано необхідні умови екстремуму для цих задач.

8. Базуючись на попередніх результатах, розроблено ефективний алгоритм з використанням бісекційної схеми на всіх його кроках, застосовний для будь-якої розмірності цих задач.

9. Попередні результати розвинуто на більш загальні системи з відмовами та на певний клас симетричних оптимізаційних задач.

10. Введено новий дотичний конус до графіка багатозначного відображення, базуючись на якому, вивчено умови диференційованості відображень за Буліганом, взаємозв’язок конуса з верхньою опуклою апроксимацією за Пшеничним, описано верхні опуклі апроксимації для маргінальних функцій.

11. Сформульовані нові теореми про неявні функції для багатозначних відображень, досліджено умови регулярності маргінальної функції.

12. Досліджено питання побудови апроксимацій надграфіком для напівнеперервних знизу функцій та пов’язані з цим нові метрики збіжності.

13. Введено багатозначні відображення можливих виходів та систематизовано підхід для оцінки ефективності систем за спостереженнями вхід-вихід.

14. Введено поняття ефективності й відповідні індекси ефективності для систем з двома типами входів й виходів та досліджені пов’язані з цим оптимізаційні задачі.