Щестюк Наталія Юріївна. Оцінки функціоналів від випадкових однорідних полів в умовах невизначеності : Дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.05.04 / Київський національний ун- т ім. Тараса Шевченка. — К., 2006. — 207арк. : рис. — Бібліогр.: арк. 159-171.
Анотація до роботи:
Щестюк Н.Ю. Оцінки функціоналів від випадкових однорідних полів в умовах невизначеності. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 — системний аналіз і теорія оптимальних рішень.— Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.
Дисертаційна робота присвячена задачам інтерполяції, екстраполяції та фільтрації функціоналів від однорідних випадкових полів в умовах невизначеності. Розвинуто метод розв’язання задач оцінювання функціоналів від невідомих значень однорідних випадкових полів за даними спостережень поля на фоні адитивного шуму. Цей метод використовує властивості ортогонального проектування у гільбертовому просторі, основні положення теорії функцій та перетворення Фур’є і дає змогу знайти формули для обчислення середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оцінки у тому випадку, коли відомо спектральні щільності полів. Як наслідки побудовано оцінки для спектральних щільностей вигляду , . В умовах невизначеності (точні значення спектральних щільностей є невідомими, проте задано класи можливих щільностей) розвинуто мінімаксний (робастний) підхід до задач оцінювання функціоналів від випадкових полів. Знайдено найменш сприятливі спектральні щільності та мінімаксні спектральні характеристики для різних класів спектральних щільностей. Розроблено алгоритм та здійснено комп’ютерну реалізацію знаходження інтерполяційних оцінок. Формули для найменш сприятливих щільностей та мінімаксних спектральних характеристик отримано для оцінки полів дискретних аргументів, неперервних аргументів та для полів неперервних аргументів за дискретними спостереженнями.
У дисертаційній роботі розвинуто метод розв’язання задач оцінювання функціоналів від невідомих значень однорідних випадкових полів за даними спостережень поля на фоні адитивного шуму. Цей метод використовує властивості ортогонального проектування у гільбертовому просторі, основні положення теорії функцій та перетворення Фур’є і дає змогу знайти формули для обчислення середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оцінки у тому випадку, коли відомо спектральні щільності полів. При цьому не вимагається знаходження коефіцієнтів канонічної факторизації спектральної щільності. В умовах невизначеності (спектральні щільності невідомо, проте задано класи можливих щільностей) розвинуто мінімаксний підхід до задач оцінювання функціоналів від випадкових полів, що дає нові результати.
Основні наукові результати роботи:
1. Узагальнено формули для знаходження спектральної характеристики та середньоквадратичної похибки оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень однорідного поля за спостереженнями поля на фоні шуму на випадок, коли поле та шум – однорідні та однорідно зв’язані поля, а область, де спостереження недосяжні, має довільний вигляд;
2. Досліджено залежність способів знаходження інтерполяційних оцінок від вигляду області; як часткові випадки розглянуто інтерполяційну область у вигляді скінченної та нескінченної смуги певної ширини; для нескінченної смуги, як наслідки, знайдено оцінки в тому випадку, коли спектральні щільності мають вигляд , ;
Розвинуто метод одержання мінімаксних оцінок інтерполяції функціоналів від однорідного поля, яке спостерігається з некорельованим шумом для певних класів спектральної невизначеності полів, що широко використовуються при обробці сигналів та полів; розроблено алгоритм та здійснено комп’ютерну реалізацію знаходження інтерполяційних оцінок;
Наведено нове розв’язання задачі знаходження оптимальних оцінок екстраполяції для функціоналів однорідного поля, що використовує метод , який не вимагає канонічної факторизації спектральної щільності; знайдено мінімаксні оцінки для випадку некорельованих полів дискретних та неперервних аргументів за спостереженнями у півплощині та у трьох чвертях площини;
Розвинуто метод (без традиційного допущення про канонічну факторизацію спектральної щільності) розв’язання задач оптимального та мінімаксного оцінювання неперервного у середньо квадратичному поля на фоні шуму на випадок дискретних спостережень за одним чи двома аргументами;
Розвинуто метод, що використовує канонічну факторизацію спектральних щільностей та результати У.Гренандера відносно можливості зображення оптимальної середньоквадратичної похибки у вигляді деякого оператора, визначеного через коефіцієнти функціонала на випадок оцінювання функціоналів за спостереженнями однорідного поля на фоні однорідного шуму у півплощині у задачах знаходження оптимальних та мінімаксних оцінок фільтрації; зокрема для спектральних щільностей , .
Всі отримані результати мають теоретичне та практичне значення при вивченні теорії лінійного прогнозу випадкових полів в умовах невизначеності та можуть використовуватись у задачах розпізнавання, оцінювання та кодування полів, які виникають при обробці зображень, в теорії автоматичного управління, океанографії, метрології.
Для розв’язання сформульованих задач в дисертаційній роботі використані основні положення спектральної теорії однорідних випадкових полів, властивості операторів у гільбертових просторах, методи опуклої оптимізації, субдиференційне числення. Достовірність отриманих результатів обгрунтована задовільним узгодженням результатів змодельованих полів із даними розрахунків та співпаданням для часткових випадків результатів оцінок, одержаних іншими авторами.
Публікації автора:
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Мінімаксна екстраполяція неперервних випадкових полів //Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: фіз.– мат. науки, – 2002, вип.№ 1, с. 47– 58.
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Робастні оцінки функціоналів від випадкових полів // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: серія фіз.– мат. науки, – 2002, вип.№ 5, с. 106– 116.
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Про задачу фільтрації випадкових полів// Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: фіз.– мат. науки, – 2002, вип.№ 5, с. 116– 126.
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Екстраполяція однорідних випадкових полів, що спостерігаються з шумом // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: математика і механіка, – 2002, вип.№ 7-8, с. 94– 101.
Щестюк Н.Ю. Про задачу інтерполяції випадкових полів// Вісник Київського університету, серія фіз.– мат. науки, – 2003, вип.№ 2, с.54– 61.
Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. Robust estimates of functionals of homogeneous random fields.// Theory of Stochastic Processes. – 2003. – N 3-4. p.101-114.
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Екстраполяція випадкових полів, що спостерігаються з шумом // ДАН України, – 2003, вип.№ 4, с. 12– 18.
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Про фільтрацію випадкових полів дискретного аргументу // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: математика і механіка, – 2003, вип. № 9-10, с. 117– 123.
Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Про робастні оцінки випадкових полів// Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: фіз.– мат. науки, – 2003, вип.№ 1, с. 32– 42.
Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. Estimation problems for random fields from observations in discrete moments of time.//Theory of Stochastic Processes. – 2004. – N 1-2. p.141-154.
Щестюк Н.Ю. Класичний метод лінійної інтерполяції для випадкового поля.// Вісник Східноукраїнського національного університету, – 2001, № 2(36), с.74– 77, Луганськ.
Щестюк Н.Ю., Моклячук М.П. Задачі оцінки функціоналів від стаціонарного випадкового поля, яке спостерігається з корельованим шумом.// Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика, – 2003, № 1-2, с.239– 241, Донецьк -2004.
Щестюк Н.Ю. Інтерполяція функціоналів від стаціонарного випадкового поля, яке спостерігається з корельованим шумом.// Матеріали ІІІ Всеукраїнської конференції з фінансового аналізу студентів та аспірантів, – 2004, с.86– 90, Львів, 19-21 квітня.
Щестюк Н.Ю. Про задачу фільтрації однорідних випадкових корельованих полів.// Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, – 2005, с.220– 221, Львів, 24-27 травня.
Щестюк Н.Ю. Екстраполяція функціоналів від однорідного випадкового поля, що спостерігається у півплощині.// Матеріали XII Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, – 2005, с.165– 168, Львів, 4-6 жовтня.
Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. Extrapolation problem for random fields from observations with noise.//International Gnedenko conference. Abstracts.. – 2002, p.141 ,Kyiv.June 3-7.
Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. On extrapolation problem for random fields from observations with noise.//ISS “Stochachastic Dinamical Systems - 2003” Abstracts, p.57, Sudak, Crimea. May 30 – June 3.
Shchestyuk Nataliya. Interpolation problems for homogeneous random fields from observations with noise.//International Conference “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”. Abstracts. – 2005, p.135, Chernivtci,June 19-26.
Shchestyuk Nataliya. The Estimates of homogeneous random fields //International Conference “Problems of Decision Making Under Uncertainties”. Abstracts.. – 2005, p.252-254 , Berdyansk, September 12-17.
