Анотація до роботи:

Бондаренко В.Г. Параболічне рівняння на рімановому многовиді. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — Диференціальні рівняння. — Інститут прикладної математики і механіки НАН України. — Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню фундаментального розв’язку параболічного рівняння на асимтотично евклідовому рімановому многовиді недодатної кривини. Встановлено властивості тензора кривини згаданого многовида та розроблено апарат диференціювання функцій на многовиді, що пов’язаний з полями Якобі. Одержано двосторонні оцінки фундаментального розв’язку параболічного рівняння, запропоновано та обгрунтовано методи побудови цього розв’язку — метод параметриксу для самоспряженого рівняння та метод збурень. Одержано явну формулу для логарифмічного градієнта ядра теплопровідності. Доведено апроксимативні за вимірністю властивості дифузійних мір, щільністю яких є фундаментальний розв’язок. Як наслідок, одержано достатні умови абсолютної неперервності перехідних ймовірностей дифузійних процесів в гільбертовому просторі при збуренні початкової умови та оператора дифузії.

В дисертації отримано такі результати.

1. На многовиді недодатної кривини доведено властивість форми кривини (теорема 1.1), визначено базисні поля Якобі та встановлено швидкість зростання та вздовж геодезичної (леми 1.4, 1.5, теорема 1.2).

2. Отримано зображення коваріантної похідної поля Якобі в напрямку поля Якобі , . Це зображення має вигляд

,

де оцінюється як

через відоме векторне поле (теорема 1.4).

3. Обчислено та оцінено градієнти та лапласіани тестових функцій

,

, ,

де — лінійний оператор, визначений на полях Якобі. Похідні цих функцій оцінюються константами, що входять в умови на тензор кривини (теореми 1.6 — 1.8).

4. Доведено двосторонні оцінки ядра теплопровідності у вигляді теорем порівняння з тестовою функцією на многовиді

.

Для інтеграла

доведено формулу заміни змінної (теореми 2.1, 2.2), а оцінки мають вигляд (теореми 2.3, 2.4):

.

З цих оцінок випливає квадратична інтегровність по мірі .

5. Для векторного поля

отримано формулу

і доведено обмеженість (теореми 2.7 та 2.11). Як наслідок встановлено оцінку для щільності

.

6. Запропоновано та обгрунтовано методи побудови фундаментального розв’язку. Так, для ядра теплопровідності — фундаментального розв’язку рівніння

узагальнено метод параметриксу (теорема 2.9).

Для збуреного рівняння вигляду

, ,

запропоновано метод побудови фундаментального розв’язку ; складовими останнього є функції та , де

.

Метод продемонстровано на прикладах конкретних збурень (теореми 2.12 — 2.14).

7. Розглянуто застосування отриманих результатів для розв’язку задач абсолютної неперервності нескінченновимірних розподілів. Прикладами таких розподілів є дифузійні міри в гільбертовому просторі, тобто перехідні ймовірності дифузійних процесів із значеннями в гільбертовому просторі. Доведено, що апроксимацією таких мір є послідовності мір вигляду

,

де — ядро теплопровідності (теореми 3.1, 3.2).

Результати, отримані в розділі 2, дозволяють отримати достатні умови абсолютної неперервності дифузійних мір для збурення початкової умови (теорема 3.3) та дифузійного оператора (теореми 3.4 — 3.9).

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах.

1. Бондаренко В.Г. Оценка фундаментального решения параболического уравнения на многообразии неположительной кривизны // Доп. НАН України. — 1995. — № 12. — С. 10 — 12.

2. Bondarenko V.G. Diffusion sur varie’te de courbure non positive // C.R. Acad. Sci. Paris, Seria I. — 1997. — T. 324. No 10. — PP. 1099 — 1103.

3. Бондаренко В.Г. О некоторых свойствах диффузионных мер в гильбертовом пространстве // Доп. НАН України. — 1997. — № 6. —

С. 14 — 18.

4. Бондаренко В.Г. Ковариантные производные полей Якоби на многообразии неположительной кривизны // Укр. мат. журнал. — 1998. Т. 50. — № 6. — С. 755 — 764.

5. Бондаренко В.Г. Оценки ядра теплопроводности на многообразии неположительной кривизны // Укр. мат. журнал. — 1998. Т. 50. — № 8. —

С. 1129 — 1136.

6. Бондаренко В.Г. Построение решения параболического уравнения с переменными коэффициентами // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 1. — С. 136 — 139.

7. Бондаренко В.Г., Новиков А.Н. О производной ядра теплопроводности // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 4. — С. 132 — 135.

8. Бондаренко В.Г. Градієнт ядра теплопровідності на рімановім многовиді // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1998. — № 1. — С. 89 — 91.

9. Бондаренко В.Г. Оцінки ядра теплопровідності на рімановім многовиді // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1998. — № 3. — С. 26 — 28.

10. Бондаренко В.Г. Аппроксимация плотности бесконечномерных распределений // Кибернетика и системный анализ. — 1998. — № 1. —

С. 172 — 174.

11. Бондаренко В.Г. Об абсолютной непрерывности возмущенных гауссовых мер // Кибернетика и системный анализ. — 1998. — № 2. —

С. 168 — 170.

12. Бондаренко В.Г. Параболічне рівняння на многовиді недодатньої кривизни // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 1997. — Вип. 40. — № 4. — С. 66 — 69.

13. Bondarenko V. Parabolic equation on the Riemann manifold // Матема-тичні студії. — 1998. — Вип. 10. — № 1. — С. 93 — 96.

14. Бондаренко В.Г. Про властивості деякого класу мір в гільбертовім просторі // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 1998. — Вип. 41. — № 3. — С. 26 — 28.

15. Бондаренко В.Г. Абсолютна неперервність нескінченновимірних розподілів // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1999. — № 3. — С. 102 — 104.

16. Бондаренко В.Г. Метод параметрикса для параболического уравнения на римановом многообразии // Укр. мат. журнал. — 1999. Т. 51. — № 11. — С. 1443 — 1448.

17. Бондаренко В.Г. Конечномерные аппроксимации диффузионных мер в гильбертовом пространстве // Укр. мат. журнал. — 1999. — Т. 51. — № 12. — С. 1587 — 1592.

18. Бондаренко В.Г. Логарифмические производные диффузионных мер в гильбертовом пространстве // Укр. мат. журнал. — 2000. — Т. 52. — № 4. — С. 537 — 543.

19. Bondarenko V. Construction of the fundamental solution of disturbed parabolic equation // Bulletin des sciences mathematiques, 2003. — Vol. 127. —

N 3. — P. 191 — 206.

20. Бондаренко В.Г. Логарифмический градиент ядра теплопроводности на римановом многообразии // Матем. заметки. — 2003. — Т. 74. — № 3. — С. 471 — 475.

21. Бондаренко В.Г. Возмущенное параболическое уравнение на римановом многообразии // Укр. мат. журнал. — 2003. — Т. 55. — № 7. —

С. 977 — 982.