Анотація до роботи:

Оридорога Л.Л. Про повноту системи кореневих векторів для деяких класів звичайних диференціальних операторів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

В диссертаційній роботі розглядаются крайові задачи для -систем диференціальних рівнянь вигляду

.

Для них отримано теорему про асимптотичну поведінку розв’язків (аналог теореми Біркгофа) та достатні умови повноти систем власних та приєднаних векторів. Для випадку -систем типу Дірака з крайовими умовами, що розпадаються, доведено не тільки повноту, але і базисність Ріса систем власних та приєднаних векторів і теорему про рівномірну рівнозбіжність із розкладенням по власним функціям тієї самої крайової задачи рівняння (*) із та . Крім того, для -систем типу Дірака показано кратну повноту системи власних та приєднаних векторів задачи із квадратичними крайовими умовами, залежними від спектрального параметру . В п’ятій главі дисертаційної роботи досліджуються крайові задачи для рівнянь дробового порядку вигляду

.

Для рівняння (**) доведено аналог теореми Біркгофа та теорему про повноту кореневих векторів крайової задачи у випадку крайових умов, що розпадаються.

В дисертації досліджуються умови повноти системи власних та приєднаних функцій для деяких диференціальних операторів.

Всі результати одержані в дисертації є новими, а саме:

1. Для крайової задачи для -системи диференціальних рівнянь першого порядку : а) отримано теореми про асимптотичну поведінку розв’язків (аналог теореми Біркгофа); б) отримано достатні умови повноти систем власних та приєднаних векторів в термінах крайових умов; в) показано, що у випадку самоспряженої матриці при нульових потенціалах і показано, що отримані умови є нтільки достатніми, але й необхідними.

2. Для крайової задачи для -системи типу Дірака (, де ): а) у випадку невироджених крайових умов що розпадаються доведено базисність Ріса системи власних та приєднаних функцій і теорему про рівномірну рівнозбіжність із розкладенням по власним функціям такой же крайової задачи рівняння із нульовими потенціалами та ; б) при квадратичних крайових умовах, заданих на відрізку , доведено повноту на більшому відрізку, а саме в просторі .

3. Для диференціального оператора дробового порядку а) отримано теореми про асимптотичну поведінку розв’язків (аналог теореми Біркгофа); б) у випадку крайових умов що розпадаються доведено повноту систем власних та приєднаних векторів.