Мельник І. О. Примарні розклади диференціальних скрутів, ідеалів та модулів. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2008.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню примарних розкладів та їх аналогів у диференціальних кільцях та модулях та узагальненню результатів на теоретико-скрутову ситуацію.
У дисертації введено поняття диференціально первинного та квазіпервинного диференціального підмодуля диференціального модуля, а також -системи. Встановлено існування розкладу диференціальних підмодулів скінченно породженого диференціального модуля над нетеровим диференціальним кільцем на незвідний скінченний перетин квазіпервинних диференціальних підмодулів – “квазіпримарний диференціальний розклад”. Показано, що довільний НК-скрут над цілком обмеженим нетеровим зліва диференціальним кільцем є перетином скінченного числа квазіпримарних скрутів, причому цей розклад незвідний.
Введено до розгляду напередрадикальні диференціальні фільтри Бленда. Доведена теорема про відповідність – диференціальний аналог теореми Габріеля-Маранди про відповідність між фільтрами та скрутами.
Детальному дослідженню піддані логічні властивості класів диференціальних кілець, які визначаються за допомогою примарних розкладів. Встановлено аксіоматизовність класу некомутативних кілець Прюфера (у сенсі Гретера) та неаксіоматизовність класу некомутативних кілець нормування Дубровіна.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню примарних (квазіпримарних) розкладів та їх аналогів у диференціальних кільцях і модулях та узагальненню результатів на теоретико-скрутову ситуацію.
Теорія примарних розкладів та їх аналогів в недиференціальних кільцях добре розвинута. Дослідження примарних розкладів в диференціальному випадку обмежується результатами Зайденберга, Брауна, Куана, Сато, Фуруя та Новіцкого, але загального підходу до питання про примарні розклади диференціальних ідеалів і модулів не було розроблено. Зокрема, зовсім не розроблений підхід, що базується на використанні нових результатів про первинні модулі та їх диференціальні аналоги.
У дисертації введено поняття диференціально первинного та квазіпервинного диференціального підмодулів диференціального модуля, які узагальнюють аналогічні поняття в кільцях, зокрема поняття -системидиференціального кільця узагальнює поняття -системи, яке ввели Хаджієв і Ціальп. На цій основі узагальнено поняття первинного та примарного модулів на диференціальний випадок. Встановлено існування розкладу диференціальних підмодулів на незвідний скінченний перетин квазіпервинних диференціальних підмодулів – “квазіпримарний диференціальний розклад”: якщо – нетерове диференціальне кільце, – лівий диференціальний скінченно породжений модуль над , то кожний лівий диференціальних підмодуль в можна розкласти в незвідний перетин квазіпримарних підмодулів. Більш загально, показано, що довільний НК-скрут над цілком обмеженим нетеровим диференціальним кільцем є перетином скінченного числа квазіпримарних скрутів, причому цей розклад незвідний.
Введено до розгляду напередрадикальні диференціальні фільтри Бленда, встановлено деякі їх властивості. Доведена теорема про відповідність, яка є своєрідним диференціальним аналогом відомої теореми Габріеля-Маранди про відповідність між фільтрами та скрутами. Існує взаємно однозначна відповідність між (ідемпотентними) ядерними функторами на категорії , які є продовженнями деяких диференціальних ядерних функторів, визначених на , і напередрадикальними (радикальними) фільтрами Бленда кільця . Існує взаємно однозначна відповідність між (ідемпотентними) ядерними НК-функторами на категорії і (радикальними) НК-фільтрами диференціального кільця .
Детальному дослідженню піддані логічні властивості класів диференціальних кілець, які тісно зв’язані з примарними розкладами. Встановлено аксіоматизовність класу некомутативних кілець Прюфера (у сенсі Гретера), та неаксіоматизовність класу некомутативних кілець нормування Дубровіна. Ці результати мають в якості наслідків відомі твердження про аксіоматизовність комутативних кілець Прюфера, доведені Ламом, Ольбердінгом і Шапіро іншими методами.
Одержані в роботі результати можуть бути використані в диференціальній алгебрі, диференціальній алгебраїчній геометрії, абстрактній теорії диференціальних рівнянь над диференціальними кільцями та інших галузях математики, завдяки високому ступеню загальності.
Публікації автора:
Комарницький М. Я. Про аксіоматизовність класу некомутативних прюферових кілець / М. Я. Комарницький, І. О. Мельник // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2005. – Т. 48, № 4. – С. 30-37.
Melnyk I. On quantales of preradical Bland filters and differential preradical filters / I. Melnyk // Algebra and discrete mathematics. – 2007. – № 4. – P. 108-122.
Мельник І. О. -системи, диференціально первинні та диференціально примарні модулі / І. О. Мельник // Наук. вісник Ужгородського університету. – 2008. – Вип. 16. – С. 110-118. – (Серія “Математика і інформатика”).
Melnyk I. Differentially prime and quasi-prime submodules / I. Melnyk // Buletinul A.S.R.M. Matematica. – 2008. – Т. 58, № 3. – С. 92-96.
Komarnytsky M. Ya. On ultraclosedness of a class of noncommutative Prfer rings / M. Ya. Komarnytsky, I. O. Melnyk // 5th international algebraic conference in Ukraine, July 20-27, 2005, Odessa: Conference abstracts. – Odessa, 2005. – P. 101-102.
Мельник І. О. Ультрадобутки кілець нормування Дубровіна / І. О. Мельник // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18-20 травня 2006 р., Київ: Матеріали конференції. – Київ: ТОВ “Задруга, 2006. – Т. 1. – С. 518.
Komarnitskyi M. Ya. On quantale of Bland filters over differential rings / M. Ya. Komarnitskyi, I. O. Melnyk // 6th international algebraic conference in Ukraine, July 1-7, 2007, Kamyanets-Podilsky: Conference abstracts. – Kamyanets-Podilsky, 2007. – P. 104-105.
Мельник І. О. Квазіпервинні диференціальні ідеали та кільця / І. О. Мельник // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ: Матеріали конференції. – Київ: ТОВ “Задруга”, 2008. – Т. 1. – С. 728.
Мельник І. О. Квазіпервинні диференціальні підмодулі та квазіпримарні розклади / І. О. Мельник // Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки та математики”, 25-29 травня 2008 р., Львів: Матеріали конференції. – Львів, 2008. – Т. 3. – С. 191-193.
Комарницький М. Я. Про аксіоматизовність класу некомутативних диференціально-прюферових кілець / М. Я. Комарницький, І. О. Мельник// Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки та математики”, 25-29 травня 2008 р., Львів: Матеріали конференції. – Львів, 2008. – Т. 3. – С. 189-190.
