Анотація до роботи:

Гончарова О.О. Псевдосферичні та лінійчаті підмноговиди в евклідовому просторі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Фізико–технічний інститут низьких температур ім Б.І Вєкркіна Національної академії наук України, Харків, 2007.

Дисертація присвячена побудові нових псевдосферичних підмноговидів, дослідженню двовимірних лінійчатих підмноговидів в евклідовому просторі, дослідженню лінійчатих підмноговидів у з нульовим гаусовим скрутом.

Представлено новий метод побудови ізометричних занурень областей - вимірного простору Лобачевського у - вимірний евклідів простір , , у вигляді надбудови над - вимірним підмноговидом постійної кривини, що лежить у - вимірній сфері . Отримано оцінки розмірів області такого занурення в термінах кривини бази. У застосування представленого методу побудовані приклади псевдосферичних підмноговидів: занурення області простору в у вигляді надбудови над відомим зануренням поверхні Веронезе в сферу одиничного радіуса; ізометричне занурення області простору в у вигляді надбудови над зануренням сфер у сферу у вигляді мінімального підмноговиду, запропонованого до Кармо і Валлахом. Знайдено тензор кривини нормальної зв’язності ізометричного занурення і встановлений його зв'язок з тензором кривини нормальної зв’язності бази .

Досліджуються деякі локальні і глобальні властивості лінійчатих поверхонь у . Зокрема, обчислено інтегральну гаусову кривину повної регулярної орієнтованої лінійчатої поверхні у . Доведено, що вона виражається через довжину індикатриси прямолінійних твірних.

Для двовимірних лінійчатих поверхонь у обчислений гаусовий скрут , що є єдиним інваріантом нормальної зв’язності поверхні, аналогічним кривині дотичної зв’язності, тобто гаусовій кривині. Загальний вид скруту для лінійчатих поверхонь знайдений за допомогою бівекторів нормалей без безпосереднього знаходження нормалей, які мають громіздкий вигляд. Отриманий вираз для скруту є раціональним виразом відносно параметра на прямолінійних твірних.

Використовуючи отриманий вираз для гаусового скруту, досліджені лінійчаті поверхні у з нульовим гаусовим скрутом. У дисертаційній роботі доведена теорема "одиничності" будови повних лінійчатих поверхонь з нульовим гаусовим скрутом.

Введений і досліджений новий клас двовимірних стандартних лінійчатих поверхонь у . Це окремий випадок лінійчатих поверхонь, коли напрямна крива є кривою з постійними і відмінними від нуля кривинами, а прямолінійні твірні в кожній точці спрямовані по одному з базисних векторів натурального репера. Отримано результати, що стосуються метрики, гаусової кривини і гаусового скруту таких поверхонь. Вивчений грасманів образ стандартних лінійчатих поверхонь у і індуковане відображення на одиничну сферу у розкладанні грасманова многовиду .

В дисертаційній роботі запропонований новий метод побудови псевдосферичних підмноговидів; досліджені деякі властивості двовимірних лінійчатих і стандартних лінійчатих поверхонь у ; встановлена будова лінійчатих поверхонь у з нульовим гаусовим скрутом. Зокрема:

Побудовані ізометричні занурення областей - вимірного простору Лобачевского у - вимірний простір , , у вигляді надбудови над зануреннями - вимірного простору постійної кривини в одиничну сферу . Отримано оцінки розмірів області такого занурення в термінах кривини бази.

В застосування представленого методу побудовані приклади псевдосферичних підмноговидів: занурення області простору в у вигляді надбудови над відомим зануренням поверхні Веронезе в сферу одиничного радіуса; ізометричне занурення області простору в у вигляді надбудови над спеціальними мінімальними підмноговидами, описаними до Кармо і Валлахом.

Знайдений тензор кривини нормальної зв’язності згаданого ізометричного занурення і встановлений його зв'язок з тензором кривини нормальної зв’язності бази .

Досліджені локальні і глобальні властивості двовимірних лінійчатих поверхонь у . Доведено, що інтегральна гаусова кривина лінійчатих поверхонь у виражається через довжину індикатриси прямолінійних твірних.

Досліджений гаусовий скрут лінійчатих поверхонь у . Встановлено вираз для гаусового скруту у вигляді раціонального виразу відносно параметра на прямолінійних твірних.

Розглянуті лінійчаті поверхні з нульовим гаусовим скрутом. Доведено теорему однозначності будови повних регулярних лінійчатих поверхонь з нульовим гаусовим скрутом. Зокрема доведено, що, якщо направляюча крива і векторне поле твірних - аналітичні, то повна регулярна лінійчата поверхня в з нульовим гаусовим скрутом або лежить у , або являє собою узагальнений циліндр. Якщо ж направляюча крива і векторне поле - регулярні класу , то повна регулярна лінійчата поверхня в з нульовим гаусовим скрутом або лежить у , або це узагальнений циліндр, або вона являє собою склейку скінченного чи нескінченного числа таких поверхонь уздовж прямолінійних твірних.

Введений і досліджений новий клас стандартних лінійчатих поверхонь у , у яких направляюча крива є кривою з постійними і відмінними від нуля кривинами, а прямолінійні твірні в кожній точці спрямовані по одному з базисних векторів натурального репера. Для таких поверхонь у отримані результати, що стосуються гаусової кривини і гаусового скруту. Розглянутий грассманів образ стандартних лінійчатих поверхонь у і індуковане відображення на одиничну сферу у розкладанні грассманова многовиду .

Публікації автора:

1. Aminov Yu.A. and Goncharova O. An example of isometric immersion of a domain of 3-dimensional Lobachevsky space into with a section Veroneze surface // Мат. фізика, аналіз, геометрія. - 1999. - Вип. 6, No.1/2. - C. 3-9.

2. Аминов Ю.А., Гончарова (Тихонова) О.А. О специальных изометрических погружениях областей пространства Лобачевского в евклидово пространство. // Мат. фізика, аналіз, геометрія. – 2003. - Вип.10, No.1. - С. 3-11.

3. Гончарова О.А. Линейчатые поверхности в // Журнал мат. фізики, аналізу і геометрії. – 2006. - Вип.2, No.1. – С. 40-61.

4. Гончарова О.А. Стандартные линейчатые поверхности в // Доповіді НАН України. – 2006. – Вип. 3. – С. 7-12.

5. Гончарова (Тихонова) О.А. К теории изометрических погружений пространства Лобачевского в евклидовы пространства. // Праці по геометрії й аналізу. - Новосибірськ: Вид-во Інституту математики, 2003. С. 411-416.

6. Аминов Ю.А., Гончарова (Тихонова) О.А. О специальных изометрических погружениях областей пространства Лобачевского в евклидово пространство. // Тези доповідей міжнародної школи - конференції по геометрії й аналізу, присвяченої 90-ої річниці з дня народження Н.В.Єфімова. - Абрау - Дюрсо (Росія), 2000. - С. 17-18.

7. Гончарова (Тихонова) О.А. К теории изометрических погружений пространства Лобачевского в евклидовы пространства. // Тези доповідей міжнародної конференції - школи по геометрії й аналізу, присвяченій пам'яті А.Д.Александрова. - Новосибірськ (Росія), 2002. - С. 72-73.

8. Гончарова (Тихонова) О.А. Линейчатые поверхности в . // Тези доповідей міжнародної конференції "Геометрія в Одесі--2004. Диференціальна геометрія і її застосування". - Одеса, 2004. – С. 80.

9. Гончарова (Тихонова) О.А. Линейчатые поверхности в // Тези доповідей міжнародної конференції - школи по геометрії й аналізу, присвяченої 75-річчю академіка Ю.Г.Решетняка. - Новосибірськ (Росія), 2004. – С. 248.

10. Гончарова О.А. Линейчатые поверхности в // Тези 6-ої міжнародної конференції по геометрії і топології. - Черкаси, 2005. – С. 99-101.