Анотація до роботи:

Ткаченко М.Є. Питання єдиності елементів найкращого наближення в інтегральній метриці. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню задач єдиності елементів найкращого L₁-наближення неперервних функцій. У дисертаційній роботі в термінах класів “тестових” функцій одержана характеризація підпросторів єдиності елемента найкращого L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому банаховому просторі. Аналогічний результат отримано також для найкращого несиметричного L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому КВ-просторі.

Для задач найкращого несиметричного і найкращого однобічного наближення в КВ-просторах одержані теореми двоїстості та критерії елемента найкращого наближення.

Одержані необхідна і достатня умови єдиності елемента найкращого L₁-наближення для неперервних на компактній підмножині простору Rⁿ дійснозначних функцій множиною лінійних комбінацій скінченного набору базисних функцій при наявності обмежень на коефіцієнти.

Дисертація присвячена задачам характеризації підпросторів єдиності елементів найкращого наближення в інтегральній метриці. Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають у наступному.

1. Досліджена задача єдиності елемента найкращого L₁-наближення неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому банаховому просторі. В термінах єдиності елемента найкращого наближення для “тестових” функцій охарактеризовані підпростори, у яких для довільної неперервної функції існує єдиний елемент найкращого наближення. Ці результати складають суттєве узагальнення відомих результатів Г.Штрауса, а також В.Ф.Бабенка і В.М.Глушко. Отримані також достатні умови єдиності елемента найкращого L₁-наближення для довільного підпростору і підпростору скінченної слабкої вимірності.

2. Для задач найкращого несиметричного і найкращого однобічного наближення у КВ-просторах опуклою підмножиною або підпростором доведені теореми двоїстості, одержані критерії елемента найкращого наближення, а також встановлені граничні співвідношення між несиметричними та однобічними наближеннями. Ці результати узагальнюють факти відомі для несиметричних та однобічних наближень у просторах L_p[a,b] у формі зручній для застосувань.

3. В термінах єдиності елемента найкращого наближення для “тестових” функцій охарактеризовані підпростори єдиності елемента найкращого несиметричного L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у КВ-просторах.

4. Для неперервних на компактній підмножині простору Rⁿ дійснозначних функцій одержані необхідна та достатня умови єдиності елемента найкращого L₁-наближення множиною лінійних комбінацій скінченного набору базисних функцій при наявності обмежень типу нерівностей на коефіцієнти лінійних комбінацій. Відомі необхідна і достатня умови А.Пінкуса та Г.Штрауса дозволяють звести дослідження питання єдиності елемента найкращого наближення при наявності обмежень на коефіцієнти до дослідження питань єдиності елемента найкращого наближення без обмежень лінійними оболонками усіляких наборів базисних функцій, що містять у собі ті, на коефіцієнти при яких обмеження відсутні. Кількість таких лінійних оболонок може бути, взагалі кажучи, дуже великою. Отримані у дисертаційній роботі результати дають інший підхід до дослідження задачі єдиності елемента найкращого L₁-наближення при наявності обмежень на коефіцієнти.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові Бабенку Владиславу Федоровичу за постановку задач, корисні поради та всіляку підтримку та допомогу у роботі.

Основні результати дисертації опубліковані у роботах:

1. Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего несимметричного приближения векторнозначных функций в метрике L₁ // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. – 1998. – С.33-41.

2. Babenko V.F., Gorbenko M.E. On the uniqueness of the best non-symmetric approximants for continuous functions on a metric compact // East J. Approx. – 1999. – 5, № 3. – P.317-328.

3. Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего L₁-приближения для функций, непрерывных на метрическом компакте со значениями в банаховом пространстве // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. – 1999. – С.34-39.

4. Бабенко В.Ф., Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего L₁-приближения для функций со значениями в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С.30-34.

5. Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего L₁-приближения с ограничениями на коэффициенты // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. – 2000. – С.47-55.

6. Ткаченко М.Е. О единственности элемента наилучшего приближения для векторнозначных функций непрерывных на метрическом компакте // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. – 2001. – С.121-127.

7. Бабенко В.Ф., Ткаченко М.Е. Об одностороннем и несимметричном приближении функций со значениями в КВ-пространстве // Международная конференция «Теория функций и математическая физика», посвященная 100-летию Н.И.Ахиезера: тезисы докладов. – Харьков, 2001. – С. 95-96.

8. Babenko V.F., Tkachenko M.E. On the best nonsymmetric L₁-approximation for continuous functions with values in KB-space // Міжнародна наукова конференція “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь: тези доповідей. – Дрогобич, Київ, 2001. – С.6.