Анотація до роботи:

Кисіль Т.М. Редукція матриць над кільцями Безу скінченного стабільного рангу. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Дисертація присвячена дослідженню різних класів кілець Безу скінченного стабільного рангу в аспекті можливості діагональної редукції матриць над даними класами кілець. Знайдено нові класи як комутативних так і некомутативних кілець елементарних дільників. Дано новий опис правого кільця Безу скінченого стабільного рангу. Показано, що майже проста область Безу є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли вона є 2-простою. Даний критерій є частковою відповіддю на відкриту проблему про описання кілець елементарних дільників. Показано, що всюди адекватне кільце Ерміта є кільцем елементарних дільників тоді і лише тоді, коли воно є кільцем стабільного рангу 2.

Досліджено вплив структури максимально неголовних ідеалів областей Безу на редукцію матриць над цими кільцями: показано, що область Безу стабільного рангу 1 з умовою Дубровіна, в якій довільний максимально неголовний ідеал є ідеалом, є кільцем елементарних дільників за Хенріксеном. Встановлено зв’язок максимально неголовних ідеалів дуо-кілець з факторіальними елементами.

Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії кілець елементарних дільників, К-теорії та загальної теорії кілець і модулів. Доведення опираються на результати І.Капланського, М.Хенріксена, П.Кона, М.Ларсена, В.Левіса, Т.Шореса, П.Менала, Й.Монкасі, М.Комарницького, Б.Забавського,

Дисертаційна робота присвячена дослідженню комутативних і некомутативних класів кілець Безу і можливості редукції матриць над ними. У дисертації автором отримані такі нові результати:

описано праві кільця Безу скінченого стабільного рангу;

показано, що праве кільце Безу, в якому радикал Джекобсона є цілком простим, є правим кільцем Ерміта;

досліджено редукцію матриць над регулярним кільцем;

встановлена можливість редукції матриць над майже простою областю Безу;

Вдалося розширити клас кілець, над якими діагональна редукція матриць досягається елементарними перетвореннями. Доведено, що редукція матриць над всюди адекватними кільцями досягається шляхом односторонніх елементарних перетворень.

В дисертації розвинуто теорію коадекватних елементів комутативної області Безу через вивчення структури максимально некоадекватних ідеалів, що є продовженням робіт Б.В.Забавського.

Максимально неголовні ідеали є важливим структурним елементом в процесі опису кілець Безу, що не є кільцями головних ідеалів. В роботі досліджено вплив структури максимально неголовних ідеалів областей Безу на редукцію матриць над цими кільцями. Показано, що область Безу стабільного рангу 1 з умовою Дубровіна, в якій довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним ідеалом, є кільцем, над яким довільна матриця еквівалентна до діагональної. Встановлено зв’язок максимально неголовних ідеалів дуо-кільця із строго факторіальними елементами.

Всі основні результати дисертації супроводжуються повними доведеннями і носять завершений характер. Вони можуть отримати широке застосування в теорії кілець і модулів.

Публікації автора:

1. Kysil' T. Coadequate elements of a commutative Bezout domain // Matematychni Studii,-2004.- 22.-94-96.

2. Кисіль Т., Забавський Б. Редукція матриць над всюди адекватними кільцями // Вісник Львівського університету.–2005. –64. –121-125.

3. Кисіль Т.М. Строго факторіальні елементи дуо-області // Математичні методи та фізико-механічні поля. –2005. –48, №4. –59-65.

4. Zabavsky B.V., Kysil' T.N. Nearly simple elementary divisor domains // Buletinul academiei de tiine a republicii Moldova. Matematica.-2006.-3(52).-121-123.

5. Kysil T. On almost invariant elementary divisor rings // IV International Algebraic Conference in Ukraine. Lviv (August, 2003).-133-134.

6. Zabavsky B., Kysil’ T. A ring with special elementary reduction of matrices // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova. Chiinu (August, 2004).-327.

7. Kysil T. Strong factorial elements of duo integral domain // V International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa (July, 2005).-121-122.

8. Zabavsky B.V., Kysil' T.M. Almost simple elementary divisor domains // International Conference on Radicals. Kyiv (July-August 2006).-76-77.

9. Kysil T. Diagonal reduction of matrices over regular rings // VI International Algebraic Conference in Ukraine. Kamyanets-Podilsky (July, 2007).- 121-122.