Анотація до роботи:

Афанасьєва Н.В. Режими з загостренням для деяких класів виродних параболічних рівнянь в необмежених областях – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню проблеми існування та неіснування глобальних розв’язків задачі Коші для деякого класу двічі виродних параболічних рівнянь з нелінійним джерелом. Розглянуто наступні випадки:

початкова функція повільно спадає до нуля на нескінченності;

джерело має нелокальний вигляд та знаходиться в додатному степені;

нелокальний множник у джерелі має від’ємний показник степеня;

джерело має нелокальний вигляд та початкова функція повільно спадає до нуля на нескінченності.

Одержано достатні умови існування та відсутності обмежених невід’ємних розв’язків таких задач.

Дисертаційна робота присвячена вивченню глобальної розв’язності задачі Коші для виродних параболічних рівнянь з джерелом в необмежених областях.

1. Отримано умови існування та неіснування невід’ємних глобальних розв’язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору.

2. Доведено теореми про глобальну розв’язність задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом, якщо показник джерела більше критичного та початкові функції достатньо малі.

3. Отримано теорему про відсутність глобальних розв’язків задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом, якщо показник джерела менший за критичний.

4. Одержано умови існування глобального розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та джерелом, що містить нелокальний множник з від’ємним показником степеня.

5. Доведено теорему про існування глобальних розв’язків задачі Коші для підлінійного параболічного рівняння з джерелом, що містить нелокальний множник у від’ємному степені.

6. Знайдені умови глобальної розв’язності та відсутності обмежених розв’язків задачі Коші для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

Публікації автора:

1. Афанасьева Н.В., Тедеев А.Ф. Теоремы типа Фуджиты для квазилинейных параболических уравнений в случае медленно стремящихся к нулю начальных данных // Мат. сборник. – 2004. – Т.195. № 4. – С.3-22.

2. Афанасьева Н.В., Тедеев А.Ф. Теоремы существования и не существования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником// Укр. мат. журнал. – 2005. – Т.57, №11. – С.1443-1464.

3. Афанасьева Н.В. Теоремы типа Фуджиты для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником в случае медленно убывающих начальных данных // Нелинейные граничные задачи. – 2005. – Т. 15. – С. 207-217.

   4. Afanasieva N.V. and Tedeev A.F. Existence and nonexistence results to the Cauchy problem for degenerate parabolic equations with nonlocal sources // International conference. Nonlinear Partial Differential Equations. Book of abstracts. Alushta, September 15-21, 2003. – P. 5.

      5. Afanasieva N.V. Fujita type theorems for degenerate parabolic equations with nonlocal source with slowly decaying initial data // International conference. Nonlinear Partial Differential Equations. Book of abstracts. Alushta, September 17-23, 2005. – P. 5.