Анотація до роботи:

Бак С.М. Рівняння нескінченних ланцюгів нелінійних осциляторів: задача Коші, періодичні розв’язки, біжучі хвилі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, Вінниця, 2007.

Робота присвячена дослідженню нескінченних систем диференціальних рівнянь, які описують нескінченні ланцюги лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Такі системи представляють собою нескінченновимірні гамільтонові системи в гільбертовому просторі .

Перш за все в роботі отримано результати про існування та єдиність глобальних розв’язків задачі Коші, а також результати про неіснування глобальних розв’язків.

Далі вивчаються періодичні за часом розв’язки. Такі розв’язки описуються нелінійними різницевими рівняннями, які мають варіаційну структуру. За допомогою теореми про гірський перевал встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків. У випадку степеневих потенціалів показано, що такі розв’язки можуть бути отримані за допомогою методу умовної мінімізації.

У випадку просторово однорідних ланцюгів встановлено існування розв’язків, що мають вигляд біжучих хвиль. Показано, що профіль таких хвиль експоненціально спадає на нескінченності.

Дисертація присвячена побудові класів існування та єдиності розв'язків гамільтонових систем, що описують нескінченні ланцюги лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів.

У дисертації отримано такі результати:

1) умови існування та єдиності локальних і глобальних розв'язків задачі Коші для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів;

2) умови існування періодичних за часом розв'язків для рівнянь, що описують динаміку системи лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів та досліджено методи їх побудови;

3) умови існування біжучих хвиль в ланцюгах лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів.

Отримані в дисертації результати є поширенням вже відомих для подібних систем. Для обгрунтування результатів в даній роботі розвинуто варіаційний метод відшукання періодичних розв'язків таких систем, метод умовної мінімізації та метод періодичних апроксимацій.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути застосованими в теорії звичайних диференціальних рівнянь та в нелінійній фізиці.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Панкову Олександру Андрійовичу за допомогу та постійну увагу до роботи.

Публікації автора:

1. Бак С.Н., Панков А.А. О периодических колебаниях бесконечной цепочки линейно связанных нелинейных осцилляторов //Доповіді НАН України. – 2004. –№9. – C.13-16.

2. Бак С.Н. Метод условной минимизации в задаче о колебаниях цепочки нелинейных осцилляторов //Математическая физика, анализ, геометрия. – 2004. – №3. – Т.11. – С. 263-273.

3. Бак С.Н., Панков А.А. О динамических уравнениях системы линейно связанных нелинейных осцилляторов //Український математичний журнал. – 2006. – №6. – Т. 58. – C.723-729.

4. Бак С.М. Задача Коші для ланцюга нелінійних осциляторів //Актуальні проблеми виробничих та інформаційних технологій, економіки і фундаментальних наук: Збірник наукових праць. – Випуск 2. – Вінниця, 2005. – С. 59-61.

5. Бак С.М. Біжучі хвилі в ланцюгах осциляторів //VIII всеукраїнська науково-практична конференція "Молодь, освіта, наука, культура і національна самосвідомість". Матеріали конференції. – Київ, 2005. – С.92-95.

6. Бак С.М. Про глобальні розв’язки для нескінченної системи нелінійних осциляторів //Міжнародна конференція „Математичний аналіз і суміжні питання”. Тези доповідей. – Львів, 2005 . – С. 5.

7. Бак С.М. Про періодичні розв’язки нескінченної системи нелінійних осциляторів //Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. – Київ, 2006. – С. 311.

8. Бак С.М. Біжучі хвилі в ланцюгах осциляторів //Математичні студії. – 2006. – Т. 26, №2. – С. 140-153.