Анотація до роботи:

Васільєва В.О. Розкладність груп та однорідних просторів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.08 — математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика. — Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

В роботі досліджується розкладність та корозкладність груп та однорідних просторів відносно родин підмножин, визначених алгебраїчними та тополого-алгебраїчними умовами.

Для широкого класу абелевих груп вказано або оцінено індекси корозкладності відносно родини {g+X+X, де g — довільний елемент групи G, Х — її нескінченна підмножина}. Вказані індекси розкладності абелевих груп відносно родин S_n(G), S(G), {g+H: gG, H є нескінченною підгрупою G}. Доведена w-розкладність вільної групи відносно родини топологій з неперервними зсувами і неперервним відображенням xx^m, mZ, m>1. За певних припущень доведена максимальна розкладність однорідного простору відносно родини великих підмножин.

В дисертаційній роботі досліджуються індекси розкладності та ко розкладності груп відносно родин підмножин, визначених алгебраїчними та тополого-алгебраїчними умовами, а також за певних умов встановлються максимальна розкладнсть однорідних просторів відносно родини великих підмножин. Всі результати отримано вперше.

Сформулюємо основні результати дисертації:

— побудовані розбиття абелевої групи на підмножини, щільні відносно родин S_n(G), S(G). Ці розбиття заповнюють проміжок між розбиттям групи на абсолютно щільні підмножини та розбиттям на асиметричні підмножини.

— досліджено розкладність груп відносно родини великих підмножин; за допомогою отриманих результатів доведено, що при певних обмеженнях цілком обмежений однорідний простір є максимально розкладним.

— для широкого класу абелевих груп досліджено розкладність відносно родин топологій з неперевними зсувами та відображеннями xmx, mZ і отримана відповідь на питання, сформульоване І. В. Протасовим і Д. Страус.

— для широкого класу абелевих груп досліджено корозкладність відносно родини підмножин {g+X+X, gG, X — нескінченна підмножина групи G}. Побудовані нові розбиття.

Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії Рамсея, комбінаторної теорії груп.

Публікації автора:

1. Protasov I.V., Vasil’eva V.A. Some new kinds of resolvability of Abelian groups. // Доповіді НАН України. — 1999. — №12. — С. 50-53.

2. Васільєва В.О. Розкладність абелевих груп відносно родин топологій. // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. — 1999. — №2. — С. 195-204.

3. Васильева В.А. Раскраски абелевых групп без одноцветных подмножеств g+X+X. // Известия Гомельского университета — Вопросы алгебры. — 2001. — т. 3 (6). — С. 151-155.

4. Протасов І.В., Васільєва В.О. Великі підмножини в розбиттях груп та однорідних просторів. // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. — 2001. — №1. — С. 287-296.

5. Vasilyeva V.A. On resolvability of free Abelian groups. // Матеріали другої міжнародної алгебраїчної конференції в Україні, присвяченої пам`яті професора Л.А. Калужніна. — Київ-Вінниця. — 1999. — С. 49.

6. Vasilyeva V.A. On some partitions of Abelian groups. // Матеріали восьмої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. — Київ. — 2000.— С. 250.

7. Васильева В.А., Протасов И.В. Задача 1754. // Квант. — 2000. — №6. — С. 20.

8. Васільєва В.О., Протасов І.В. Навколо теореми ван дер Вардена. // У світі математики. — 2001. — №1. — С. 17-19.