Анотація до роботи:

Шматко Т.В. Розробка чисельно-аналітичного методу дослідження стійкості форм коливань нелінійних пружних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2003.

Розроблено ефективний метод дослідження стійкості форм регулярних та хаотичних коливань нелінійних механічних систем з декількома положеннями рівноваги і створено програмний комплекс для його реалізації. В основу методу покладено новий чисельно-аналітичний критерій стійкості, названий «обмеженим критерієм стійкості за Ляпуновим». Важливою особливістю обмеженого критерію стійкості за Ляпуновим є те, що його можна використовувати для дослідження стійкості форм не тільки регулярних, але і хаотичних коливань, крім того, він зручний для практичного застосування і може бути використаний при комп'ютерній реалізації даної проблеми.

За допомогою розробленого програмного комплексу визначені зони стійкості і нестійкості форм коливань нелінійних пружних систем, які моделюються стриженями, арками, пластинами, циліндричними оболонками і пологими оболонками з заданим планом; побудовані відповідні математичні моделі.

Запропоновано новий метод для дослідження стійкості форм регулярних і хаотичних вимушених коливань пластин і пологих оболонок із заданим планом, що базується на теорії R-функцій, варіаційних методах, обмеженому критерії стійкості за Ляпуновим і методі Рунге-Кута. За допомогою такого підходу розв’язано нові задачі динамічної стійкості геометрично нелінійних пластин складної форми під дією періодичних навантажень. Отримано амплітудно-частотні характеристики для пластин складної геометрії при різних способах закріплення. Результати цього дослідження можуть бути використані фахівцями при проектуванні елементів сучасних конструкцій.

За дослідженнями, що виконано у дисертаційній роботі відповідно до її мети, створено ефективний метод дослідження стійкості регулярних та хаотичних форм коливань нелінійних пружних систем, які моделюються стриженями, арками, циліндричними оболонками, пластинами і пологими оболонками з заданим планом і мають одне чи декілька положень рівноваги.

Основні наукові і практичні результати, отримані в роботі, полягають у наступному:

1. Вперше на основі теорії R-функцій розроблено новий ефективний метод дослідження стійкості регулярних та хаотичних форм вимушених коливань пластин і пологих оболонок із заданим планом. Запропонований метод складається з двох етапів: перший – це чисельне визначення коефіцієнтів системи нелінійних диференціальних рівнянь, отриманої в результаті збереження двох гармонік ряду Фур'є по просторових координатах, і наступній дискретизації по методу Бубнова-Гальоркіна. Коефіцієнти цієї системи визначаються при розв’язанні послідовності крайових задач методом RFM. Другий – це розв’язання і дослідження отриманої системи нелінійних диференціальних рівнянь за допомогою методу Рунге-Кута, обмеженого критерію стійкості за Ляпуновим з використанням розробленого програмного забезпечення.

2. Вперше запропоновано метод дослідження стійкості періодичних чи хаотичних форм коливань у просторі з більшою розмірністю для систем із одним чи декількома положеннями рівноваги. В основу методу покладено обмежений критерій стійкості за Ляпуновим і метод Рунге-Кута. Вирішено проблему визначення інтервалу для розрахунку часу, при якому настає стабілізація границь областей стійкості/нестійкості.

3. Побудовано математичні моделі для дослідження динамічної стійкості руху нелінійних пружних систем (стрижнів, арок, циліндричних оболонок, пластин і пологих оболонок із заданим планом) при врахуванні двох гармонік ряду Фур'є по просторових координатах, що представляють собою зв'язану нелінійну систему звичайних диференціальних рівнянь типу Дуфінга.

4. Створено програмне забезпечення, що дозволяє визначати зони стійкості/нестійкості регулярних чи хаотичних форм коливань нелінійних пружних систем у просторі параметрів системи. Виконано чисельні дослідження, пов'язані з визначенням зон стійкості/нестійкості в залежності від зовнішніх періодичних впливів і деяких фізичних значень параметрів системи. Приведено приклади значень конструктивних параметрів пружних систем, при яких спостерігаються хаотичні коливання.

5. Розроблено алгоритм для знаходження амплітудно-частотних характеристик нелінійних вимушених коливань пластин і пологих оболонок довільної форми в плані. Виконана його апробація й обґрунтована вірогідність на тестових задачах. За допомогою запропонованого алгоритму розв’язано ряд нових задач про змушені нелінійні коливання пластин складної форми.

6. Запропоновані методи реалізовані у вигляді програмного комплексу в рамках системи POLE-RL. Виконане його тестування на ряді модельних задач.

7. Розв'язано нові задачі динамічної стійкості форм коливань геометрично нелінійних пластин складної форми під дією періодичних навантажень при різних способах закріплення. Побудовано графічне зображення знайдених зон стійкості/нестійкості. Визначено діапазон значень геометричних і фізичних параметрів, при яких можлива нестійкість форм коливань пластин і «перекачування» енергії з однієї форми коливань в іншу. Отримані чисельні результати можуть бути використані при проектуванні й експлуатації конкретних конструкційних елементів.