Анотація до роботи:

Глазунов М.М. Розробка методів обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики. – Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2004.

Розроблено й досліджено комп’ютерно-алгебраїчні, інтервально-аналітичні та на просторах модулів методи обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих і геометрії чисел. На основі цих методів побудовано ефективні алгоритми та комп’ютерні системи розв’язування обчислювальних задач і обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел на просторах модулів. Розроблені методи, алгоритми й системи застосовано до обґрунтування гіпотези про рівнорозподіленость з щільністю Сато–Тейта кутів тригонометричних сум Клостермана, розв’язування задач про розв’язки, оцінки множин розв’язків кривих вигляду y² = f(x) , де f(x) є унітарний поліномом степені більше або рівній п’яти, гіпереліптичних кривих над простими скінченними полями, вибраних задач стохастичної апроксимації, інтервального оцінювання та теорії динамічних систем, гіпотези Мінковського про критичний визначник.

Доведено гіпотезу Мінковського про критичний визначник області |x|^p + |y|^p < 1, p > 1 в околі p = 2.

У дисертаційній роботі розроблені, досліджені та застосовані нові комп’ютерно-алгебраїчні, інтервальні та на просторах модулів методи обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел, прикладних задач, до таких гіпотез зводжуваних. Запропоновані методи є розвитком методів М. Сато, О.Г. Постнікова, С.О. Степанова, О.В. Малишева, базуються на методах вищезгаданих авторів і об’єднуються теорією просторів модулів, застосованою для дослідження гіпотез автором дисертаційної роботи. На основі запропонованих методів розроблені достатньо для цілей розв’язування задач ефективні алгоритми, які базуються також на вибраних теоретико-числових, алгебраїчних та інтервально-аналітичних методах. У тому числі, запропоновано й розроблено ефективні комп’ютерно-алгебраїчні та комп’ютерні інтервальні арифметики, алгоритми обчислення розрізаючи вершин графів, як орієнтованих, так і не орієнтованих, алгоритми обчислення точок кривих вигляду y² = f(x), де f(x) є многочленом степеня більше або рівній п’яти та гіпереліптичних кривих над простими скінченними полями, кутів тригонометричних сум Клостермана. Такими методами та розробленими на їхній основі алгоритмами досліджено точність оцінок Хассе-Вейля та Мітькіна для кривих вигляду y² = f(x), де f(x) є многочлен степені більше або рівній п’яти та гіпереліптичних кривих над простими скінченними полями, розподілення кутів тригонометричних сум Клостермана та доведена гіпотеза Мінковського про критичний визначник області |x|^p + |y|^p < 1 , p > 1. Автор застосував розроблені методи також для гарантованого обчислення інтегралів, дослідження формальних груп, оцінювання дзета та L – функцій, дослідження динаміки, пов’язаної з критичними решітками.