Анотація до роботи:

Буряченко К.О. Розв’язність крайових задач для диференціальних рівнянь головного типу високого порядку в крузі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2002.

В дисертації досліджуються властивості існування, єдиності та регулярності розв’язків крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь головного типу високого порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами. Особливу увагу приділено питанню єдиності розв’язку. Отримано критерій порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в крузі для рівнянь головного типу парного порядку 2m. Доведено достатність умов раціональності кутів між характеристиками для порушення ньотеровості цієї задачі. У випадку m=2 цей результат використано для побудови прикладів неправильно еліптичних рівнянь, оператор задачі Діріхле яких має нескінченновимірне ядро. Знайдено необхідні і достатні умови порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для рівнянь четвертого порядку, характеристики яких колінеарні та (або) не мають кутів нахилу.

В роботі детально вивчаються властивості задачі з трьома крайовими умовами для рівнянь четвертого порядку: знайдено геометричну інтерпретацію умов порушення єдиності розв’язку, сформульовано умови на кути нахилу характеристик, які разом з умовами узгодження початкових даних, гарантують існування в соболєвських просторах єдиного розв’язку задачі в крузі. В поданому дослідженні розглядається також комплексний характеристичний біліард.

В дисертації вивчаються питання розв’язності задачі з трьома граничними умовами для загальних диференціальних рівнянь четвертого порядку, а також задачі Діріхле для рівнянь головного типу парного порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами. Підкреслимо найбільш важливі результати, отримані в дисертації.

1. Доведено критерій порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2) з трьома умовами для диференціальних рівнянь четвертого порядку. У випадку круга цей критерій еквівалентний умові раціональності кутів між характеристиками .

2. У зв’язку зі знаходженням геометричної інтерпретації умов єдиності розв’язку крайових задач для рівнянь четвертого порядку, в роботі вперше розглянуто комплексний характеристичний біліард.

3. Досліджено питання порушення єдиності розв’язку задачі з трьома граничними умовами для рівнянь четвертого порядку в вироджених випадках: випадках, коли характеристичне рівняння має кратні корені, які, власно кажучи, можуть приймати значення . Доведено, що як і для задачі Діріхле для рівнянь другого порядку, в вироджених випадках єдиність розв’язку задачі (1), (2) не порушується.

4. В роботі вперше сформульовано умови на кути нахилу характеристик рівняння, які разом з умовами узгодження початкових даних гарантують існування в соболєвських просторах єдиного розв’язку задачі (1), (2). Ці умови відображають аналітичну залежність регулярності розв’язку задачі від швидкості наближення до нуля послідовності, що визначається характеристиками рівняння.

5. При вивченні питань порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для рівнянь високих порядків 2m, m, вперше застосовано метод двоїстості рівняння-область, який дозволяє встановити ізоморфізм між будь-яким розв’язком задачі з C^2m та аналітичним в C² розв’язком відповідної подвійної задачі. За допомогою цього методу доведено критерій нетривіальної розв’язності однорідної задачі Діріхле в крузі для диференціальних рівнянь головного типу парного порядку 2m зі сталими комплексними коефіцієнтами.

6. Сформульовано достатні умови на кути нахилу характеристик рівняння для порушення ньотеровості задачі Діріхле для рівнянь головного типу парного порядку 2m. Ці умови - умови раціональності усіх різниць кутів нахилу характеристик. Для m=2 цей результат застосовано для побудови прикладів неправильно еліптичних рівнянь зі сталими комплексними коефіцієнтами, для яких оператор задачі Діріхле в крузі має нескінченновимірне ядро.

7. Отримано умови порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в крузі для рівнянь четвертого порядку у випадках, коли характеристики рівняння кратні та можуть не мати кутів нахилу. Досліджено залежність між значенням кратності коренів характеристичного рівняння та існуванням нетривіального розв’язку відповідної однорідної задачі Діріхле.

Публікації автора:

1. Буряченко Е.А. О нарушении единственности решения краевых задач для уравнений четвёртого порядка и одном характеристическом биллиарде // Труды ИПММ НАН Украины. –1998. – Т. 2. – С. 9-17.

2. Буряченко Е.А. К вопросу о нарушении единственности решения задачи Дирихле для уравнений с частными производными четвёртого порядка // Труды ИПММ НАН Украины. – 1999. – Т. 4.– С. 15-21.

3. Буряченко Е.А. Достаточные условия однозначной разрешимости задачи Дирихле в круге для линейных эллиптических уравнений четвёртого порядка // Труды ИПММ НАН Украины. – 2000. – Т. 5. – C. 20-29.

4. Буряченко Е.А. О единственности решений задачи Дирихле в круге для дифференциальных уравнений четвёртого порядка в вырожденных случаях // Нелинейные граничные задачи. – 2000.– Т. 10. – С. 44-49.

5. Буряченко К.О. Iснування та регулярнiсть розв’язку однiєї крайової задачi для диференцiальних рiвнянь третього порядку // Мат. методи та фiз.- мех. поля. – 2001. – Т. 44. – № 3. – С. 53-62.

6. Буряченко Е.А. Разрешимость краевой задачи с тремя граничными условиями для дифференциальных уравнений четвёртого порядка в круге // Труды ИПММ НАН Украины.– 2002. – T. 7. – C. 17-32.

7. Бурский В.П., Буряченко Е.А. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для уравнений с частными производными четвёртого порядка // Вiсник Донбаської держ. акад. будiвництва i архiтектури. – 1999. – Вип. 99-4 (18). – С. 18.

8. Buryachenko E.A. On the breakdown of the solution uniqueness of the Dirichlet problem for linear differential equations of the fourth order in a bounded domain // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts of XIV International conference dedicated to J. P. Schauder. – Lviv.– 1999. – P. 40.

9. Бурский В.П., Буряченко Е.А. О нарушении единственности решения задачи Дирихле в круге для дифференциальных уравнений произвольного чётного порядка // Тез. докл. VI Межд. Конф. «Обратные и некорректно поставленные задачи». – Москва : МГУ. – 2000. – С. 18.

10. Burskii V.P., Buryachenko E.A. Some questions of nontrivial solvability of homogeneous Dirichlet problem in disk for the linear equations of arbitrary even order // Тез. докл. IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвящ. памяти М.А. Лаврентьева. – Новосибирск : НГУ.– Ч. 1.– 2000. – С. 92.

11. Buryachenko E. Sufficient conditions of the unique solvability of the Dirichlet problem in disk for the linear elliptic equations of the fourth order // Новi пiдходи до розв’язання диференцiальних рiвнянь. Тези доповiдей.– Дрогобич.– 2001.– P. 31.

12. Buryachenko E. The characteristic billiard for the fourth order differential equations and solution uniqueness of some boundary value problem // Мiжнародна конференцiя з функцiонального аналiзу. Тези доповiдей. – Київ. – 2001. – P. 17.

13. Buryachenko E. On the solution uniqueness of the Dirichlet problem in disc for the fourth order differential equations in the degenerated cases // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts.– Donetsk.– 2001. – P. 32.

14. Buryachenko E. Existence and solution regularity of boundary value problem with three conditions on the boundary for the fourth order differential equations // Functional analysis with applications: Book of abstracts of International conference dedicated to Stefan Banach. – Lviv.– 2002. – P.45.