Анотація до роботи:

Каліновський Я.О. Розвиток методів теорії ГЧС для математичного моделювання і комп’ютерних обчислень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи. – Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», Київ, 2007.

Дисертація присвячена розвитку методів теорії ГЧС для математичного моделювання і комп’ютерних обчислень .

Проаналізовано різні форми представлення даних і, перш за все, за допомогою ГЧС. Досліджено базові поняття ГЧС, методи виконання алгебраїчних операцій у них, вивчено найбільш важливі класи ізоморфизмів. Досліджено множинність ГЧС. Розроблено методи побудови таких нелінійностей у ГЧС, як експонента, тригонометричні та гіперболічні функції, побудовано методи вирішення гіперкомплексних лінійних диференціальних рівнянь. Ефективність застосування розроблених методів показано при моделюванні задачі синтезу структур цифрових реверсивних фільтрів.

Комплекс результатів, що отримані в дисертаційній роботі, являє собою нові концептуальні засади по створенню методів підвищення ефективності моделювання широкого кола практичних багатовимірних задач шляхом розробки теоретичних основ, методів та засобів представлення та обробки інформації за допомогою ГЧС та використанню їх для математичного моделювання та комп‘ютерних обчислень.

На основі теоретичних та експериментальних досліджень запропоновано науково обґрунтовану концепцію та засоби математичного моделювання та комп‘ютерних обчислень за допомогоюі ГЧС, що дозволяє створювати математичні моделі з кращими характеристиками порівняно з існуючими.

Основні теоретичні та прикладні результати дисертаційного дослідження:

1. Досліджена множинність ГЧС, процедури подвоєння Кейлі - Діксона та Грассманна - Кліффорда, зроблені оцінки кількості таблиць канонічних ГЧС, з яких треба вибрати ті, що арифметизуються, шляхом перевірки умови лінійної незалежності базисних елементів.

2. Досліджені властивості основних алгебраїчних операцій в ГЧС, їх представлення за допомогою структурних констант та матриць; враховуючи одержані результати та загальні тенденції розвитку теорії математичного моделювання і комп‘ютерних обчислень, зроблено висновок про доцільність виконання операцій в ГЧС за допомогою структурних констант.

3. Досліджені найважливіші для математичного моделювання і комп‘ютерних обчислень класи ізоморфізмів ГЧС і одержані аналітичні вирази переходу базисів і чисел ізоморфних ГЧС, використання яких значно зменшує обсяги комп‘ютерних обчислень.

4. Досліджені основні структурно-алгебраїчні операції в ГЧС, розроблені методи побудови норм, спряжених чисел, дільників нуля, одиничних елементів, правила виконання операції ділення в системах з дільниками нуля, які дозволяють побудувати аналітичні вирази для конкретних ГЧС.

5. Вивчені методи перечислення класів ізоморфізмів канонічних комутативних ГЧС за допомогою алгебри шляхів на графах та побудовано перечислення класів систем другої, третьої та четвертої вимірностей. Ці методи дозволяють швидко одержувати класи ізоморфізмів для невеликих вимірностей.

6. Досліджені теоретичні підходи до побудови методів перечислення канонічних комутативних ГЧС за допомогою перебору таблиць множення і за їх допомогою побудовані класи ізоморфізмів систем другої, третьої та четвертої вимірностей; ці методи дозволяють одержати не тільки класи ізоморфізмів, склад яких співпадає з результатами попереднього п.п., але і повний склад класів, що дає можливість використовувати при математичному моделюванні такі ГЧС, які мають ізоморфні, а це приводить до зменшення обсягів комп‘ютерних обчислень.

7. В одержаних при перечисленні класах ізоморфізмів побудовані вирази структурно-алгебраїчних характеристик, які являють собою функціональний ряд операцій, необхідних для математичного моделювання та комп‘ютерних обчислень.

8. Розроблені і досліджені теоретичні основи побудови представлень нелінійних функцій в ГЧС з необхідною для обчислень точністю.

9. Розроблені і досліджені методи побудови представлень експоненціальної, тригонометричних та гіперболічних функцій гіперкомплексного змінного, які дають можливість для конкретних ГЧС безпосередньо будувати представлення різних нелінійностей, необхідних для математичного моделювання.

10. Досліджені методи вирішення та вивчені структури розв‘язків лінійних однорідних та неоднорідних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного і з гіперкомплексними постійними коефіцієнтами; встановлено, що використання представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного при вирішенні цих рівнянь значно спрощує цей процес.

11. Побудовані у аналітичному вигляді практичні реалізації таких нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного, як експонента, синус, косинус, гіперсинус і гіперкосинус в різних класах ізоморфізмів ГЧС систем другої, третьої та четвертої вимірностей; математичне моделювання цих аналітичних виразів показало, що для їх обчислення значно зменшується час обчислення порівняно з існуючим методом підсумовування степеневих рядів

12. Розроблені і досліджені методи вирішення лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного із змінними гіперкомплексними коефіцієнтами шляхом використання представлень експоненціальної функції; побудовано відповідну алгоритмічно-програмну систему для вирішення таких рівнянь, використання якої, як показали експериментальні дослідження, значно зменшує час побудови розв‘язків порівняно з існуючим методом перетворення рівняння в ГЧС в систему рівнянь від багатьох дійсних змінних.

13. Побудовані практичні реалізації розв’язків лінійних нестаціонарних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного в різних ГЧС з різними типами нелінійних коефіцієнтів; ці розв‘язки можуть бути використані при створенні конкретних математичних моделей.

14. Досліджені теоретичні підходи і розроблені практичні методики до процесу побудови математичних моделей рекурсивних цифрових фільтрів підвищеної ефективності з гіперкомплексною структурою. Практично реалізована структура рекурсивного цифрового фільтру з гіперкомплексною, зокрема триплексною, передавальною функцією, математичне моделювання якої показало їх більш високу швидкодію та кращі характеристики по інтегральній параметричній чутливості.

Публікації автора:

Журнали та збірники праць

1. Калиновский Я.А. Разработка алгоритмов решения линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2001. Т. 3, № 2. С. 22–29.

2. Калиновский Я.А. Алгоритм решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного, основанный на удвоении исходной гиперкомплексной числовой системы // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2001. Т. 3, № 3. С. 43–48.

3. Калиновский Я.А. Исследование свойств изоморфизма квадриплексных и бикомплексных числовых систем // Реєстрація, зберігання і обробка. даних. 2003. Т. 5, № 1. С. 69–73.

Опубліковані в співавторстві:

4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бородкина И.Л., Удовикина Л.Б. Гиперкомплексные числовые системы, их структуры, особенности и возможности применения для моделирования. Теория и применение моделирующих систем. К.: Наук. думка, 1986. С. 27–35 (запропоновано методи використання ГЧС конкретного вигляду для побудови математичних моделей).

5. Синьков М.В., Калиновский Я.А. О связи систем дифференциальных уравнений с гиперкомплексными числовыми системами: Сб. Проблемы регистрации информации. К.: Наук. думка, 1991. С. 100–103 (встановлено теоремупро зв’язок типів розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з ГЧС).

6. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Перевертень А.Ю. Некоторые геометрические построения на двойной плоскости: Сб. Проблемы регистрации информации. К.: Наук. думка, 1991. С. 103–107 (запропоновано рівняння прямої лінії та кола на подвійній площині).

7. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Пустовойтова А.А. Моделирование нелинейных и векторных операций над гиперкомплексными числовыми системами с помощью аналитических вычислений плоскости: Сб. Проблемы регистрации информации. К.: Наук. думка, 1991. С. 126–133 (запропоновано форму представлення ГЧС при моделюванні нелінійних та векторних операцій на мові високого рівня).

8. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Роенко Н.В. Building nonlinear functions in quaternion and other hypercomplex number systems for the solution of applied mecanics problem // Proc. of the First Int. Conf. On parallel processing and appl. Math. Poland. 1994. P. 170–177 (запропоновано визначення нелінійної функції від гіперкомплексного змінного через суми відповідних степеневих рядів).

9. Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. 1996. № 4. C. 178–181 (запропоновано метод асоційованих систем лінійних диференціальних рівнянь для побудови представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного).

10. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. Перспективные задачи развития теоретических основ гиперкомплексного представления информации // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 1999. Т. 1, № 1. С. 41–50 (досліджено методи класифікації ГЧС та використання метода асоційованих систем лінійних диференціальних рівнянь до визначаючих рівнянь другого порядку, що дає метод побудови тригонометричних та гіперболічних функцій від гіперкомплексного змінного).

11. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. Изучение специальных видов преобразования базиса в ГЧС второго порядка // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 1999. Т. 1, № 2. С. 39–43 (запропоновано методи переходу представлень нелінійностей в ізоморфних ГЧС).

12. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор Т.В., Синькова Т.В. Использование ГЧС для представления общих решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 1999. Т.1, № 6. С. 31–35 (запропоновано метод вирішення систем лінійних диференціальних рівнянь за допомогою гіперкомплексного представлення).

13. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Чапор А.А. О повышении производительности вычислений в некоторых классах гиперкомплексных числовых систем // Электронное моделирование. 2000. № 6. С. 13–18 (теоретично обгрунтовано метод побудови лінійного відображення базисів систем триплексних і квадриплексних чисел в базис прямих сум комплексних і дійсних чисел).

14. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Закидальский А.И., Федоренко А.В. О направлениях работ отдела специализированных средств моделирования // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2000. Т. 2, № 2. С. 61–65 (досліджені принципи побудови представлень нелінійностей від гіперкомплексного змінного).

15. Будьонний М.Ф., Каліновський Я.О., Панов А.П., Петренко А.І., Постнікова Т.Г., Синьков М.В., Синькова Т.В. Про автоматизоване проектування системи програмно-апаратних засобів на базі гіперкомплексних чисел для задач орієнтації твердого тіла. Частина 1 // Реєстрація, зберігання і обробка. даних. 2001. Т. 3, № 4. С. 73–85 (обґрунтувано можливості використання ГЧС для опису кінематичних параметрів руху твердого тіла).

16. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Применение гиперкомплексных чисел для эффективного представления систем дифференциальных уравнений // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2001. Т. 3, № 4. С. 32–36 (запропоновано метод побудови асоційованих систем лінійних диференціальних рівнянь для ГЧС вимірності вище другої).

17. Синьков М.В., Петренко А.И., Панов А.П., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В., Буденный М.Ф. Про автоматизоване проектування системи програмно – апаратних засобів на базі гіперкомплексних чисел для задач орієнтації твердого тіла. Частина 2 // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2002. Т. 4, № 4. С. 69–77 (використання ГЧС для опису параметрів руху твердого тіла).

18. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Перспективні напрямки досліджень і розвитку теорії гіперкомплексного представлення інформації // Науковий вісник НТУУ КПІ. 2002. № 5. С. 49–53 (проаналізовано методи визначення класів ізоморфізмів ГЧС і побудови представлень нелінійностей в них).

19. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Часть 1 // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2002. Т. 4, № 1. С. 38–42 (запропоновано методи побудови спряжених елементів, що базуються на конкретних властивостях ГЧС).

20. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Логарифмическая функция от кватерниона // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2002. Т.4, №1. С. 35–37 (розроблено метод побудови представлення логарифма кватерніона, який засновано на оберненні експоненти від кватерніона).

21. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Часть 2 // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2002. Т. 4, № 2. С. 11–15 (запропоновано метод побудови спряжених елементів, який базується на факторизації виразу норми числа).

22. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Построение сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах // Сб. науч. тр. 8-й Международной научной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» ИИИСТ-2002. — Харьков, 2002. C. 505–506. (побудовано спряжені числа в деяких ГЧС).

23. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Построение сопряженностей в гиперкомплексных числовых системах. Часть 1 // On line: . — 2002 (проаналізовано методи побудови спряжених у комутативних ГЧС).

24. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Построение сопряженностей в гиперкомплексных числовых системах. Часть 2 // On line: 2002 (на основі виразів норм побудовано спряжені числа в ГЧС третьої-четвертої вимірностей).

25. Синьков М.В., А.А., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Некоторые линейные и нелинейные операции обобщенных комплексных чисел // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2002. Т. 4, № 3. С. 55–61 (побудовано методии виконання нелінійних операцій у системі узагальнених комплексних чисел).

26. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Бояринова Ю.Е. Новые применения гиперкомплексных квадриплексных чисел. Часть 1 // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2003. Т.5, № 2. С. 34–39 (розглянуто методи використання квадриплексних чисел для математичного моделювання).

27. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Бояринова Ю.Е., Трубников П.В. Новые применения гиперкомплексных квадриплексных чисел. Часть 2 // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2003. Т. 5, № 3. С. 4–7 (розроблено методику побудови передавальної квадриплексної функції цифрового фільтра).

28. Синьков М.В., Бояринова Ю.Е., Калиновский Я.А., Трубников П.В. Развитие задачи разделения секрета // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2003. Т. 5, № 4. С. 90–96 (розглянуті властивості розширень комплексних чисел з орієнтацією на задачі криптографії).

29. Cиньков М.В., Бояринова Ю.Е., Калиновский Я.А., Трубников П.В. Расширение возможностей постановки задачи разделения секрета.- Безопасность информации в информационно-телекоммуникационных системах // Материали VІІ Междунар. научно-практ. конф. К., 2004. С. 64–65 (розглянуті властивості операцій над розширеннями комплексних чисел).

30. Синьков М.В., Калиновский Я.А. Исследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2004. Т. 6, № 1. С. 53–61 (розроблено методи вирішення гіперкомплексних лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь для конкретних правих частин).

31. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Синькова Т.В., Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше первого // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2003. Т. 6, № 2. С. 19–26 (досліджено структуру розв’язків гіперкомплексних лінійних диференціальних рівнянь порядків вище першого).

32. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Бояринова Е.В. Новый подход к задаче разделения секрета // Сб. Информационные технологии и безопасность. Материалы четвертой научно-практич. конф. (22-26 июня 2004, Партенит) Вып.7. К., 2004. С. 96–100 (досліджено операції в розширеннях комплексних чисел для побудови алгоритму ділення з залишками).

33. Синьков М. В., Калиновский Я.А. Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2004. Т. 6, № 4. С. 59–65 (запропоновано метод переходу з квадриплексного простору в бікомплексний для виконання процедури обертання квадриплексних векторів).

34. Синьков М.В., Каліновський Я.О., Боярінова Ю.Є. Розробка та дослідження алгоритмів побудови представлення обернених функцій від гіперкомплексного змінного // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2005. Т. 7, № 1. С. 32–43 (побудовано нелінійні функції від гіперкомплексного змінного в деяких ГЧС).

35. Синьков М.В., Каліновський Я.О., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. , Бояринова Ю.Е. Алгоритмічно-програмний інструментарій аналітичних обчислень над гіперкомплексними числами в системі комп’ютерної математики MAPLE // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2005. Т. 7, № 2. С. 18–25 (запропоновано принципи представлення та перетворення гіперкомплексних чисел в середовищі MAPLE).

36. Синьков М. В., Калиновский Я.А., Постнікова Т.Г., Синькова Т.В., Боярінова Ю.Є. Модульні операції над гіперкомплексними числами в системі комп’ютерної математики MAPLE // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2005. Т. 7, № 3. С. 55–62 (запропоновано принципи виконання лінійних та нелінійних операцій з гіперкомплексними числами в середовищі MAPLE).

37. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Синькова Т.В. Биплексные числовые системы и функции в них // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2005. Т. 7, № 4. С. 21–28 (запропоновано методи побудови представлень нелінійних функцій у біплексних числових системах).

38. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Федоренко А.В. Построение некоторых функций в ГЧС 4-го порядка // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2006. Т. 8, № 1. С. 9–16 (запропоновано методи побудови представлень нелінійних функцій в ГЧС четвертої вимірності – квадриплексних числах).

39. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Федоренко А.В. О дифференциальных уравнениях, определяющих функции гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2006. Т. 8, № 3. С. 20–24 (запропоновано метод зменшення характеристичної матриці визначального диференціального рівняння для тригонометричних та гіперболічних функцій від гіперкомплексного змінного).

40. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Синькова Т.В., Федоренко А.В. Разработка структур эффективных цифровых фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации // Сб. «Управління розвитком». 2006. № 6. С. 83–84 (запропоновано метод перетворення дійсної передавальної функції в гіперкомплексну форму).

41. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е. Построение алгоритмов решения нестационарных линейных дифференциальных уравнений в гиперкомплексных числовых системах // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2006. — Т. 8, № 4. — C. 38–44 (доведено можливість використання методу варіації довільної сталої для гіперкомплексних рівнянь).

42. Устройство для умножения векторов: А.с. 1718213 СССР/ Дражан И.И., Калиновский Я.А., Синьков М.В., Тарасенко В.П., Швец Е.М. (СССР). № 4798974 G 06 F7/49; Заявлено 05.03.90; Опубл. 07.03.92, Бюл. № 9 (обгрунтовано функціональну схему пристрою).

43. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Ковалевская И.Л., Изык Л.Б., Губарени Н.М. Гиперкомплексные числовые системы, их структуры и возможности применения для моделирования // Всесоюзная конференция «Моделирование-85». Ч. 1. К.: 1985. С. 9–10 (досліджено запропоновані професором М.В. Синьковим структури ГЧС і можливості їхнього використання при моделюванні).

44. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бородкина И.Л., Удовикина Л.Б. Вопросы связи аппарата многомерных числовых систем с уравнениями в частных производных // Всесоюзный научно-технический семинар «Машинные методы краевых задач». Тезисы докладов. М.–Рига: 1985. С. 9 (досліджено характер зв’язків між нелінійностями від гіперкомплексного змінного та диференціальними рівняннями).

45. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бородкина И.Л., Удовикина Л.Б. Построение вычислительной системы, ориентированной на моделирование задач в гиперкомплексные числах // Республиканская научно-техническая конференция «Функционально-ориентированные системы». Ч. 1. Харьков, 1986 (досліджено структурні особливості ГЧС, які можуть бути застосовані для побудови моделей).

46. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Повышение эффективности цифровых фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации: Сб. науч. тр. 8-й Международной научной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» ИИИСТ-2002. — Харьков, 2002. C. 503–504 (теоретично обґрунтовано можливість використання ізоморфізма систем бікомплексних та квадриплексних чисел для синтезу структур цифрових фільтрів).