Анотація до роботи:

Бондаренко Є.В. Самоподібні групи автоморфізмів однорідних кореневих дерев. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню самоподібних груп, породжених обмеженими автоматами, та груп ітерованих монодромій пост-критично скінченних квадратичних многочленів. Доведено, що групи, породжені обмеженими автоматами, є стискуючими та описано структуру їх нуклеусів. Охарактеризовано стискуючі групи, які мають пост-критично скінченний граничний простір та доведено, що скінченно-породжена стискуюча група має пост-критично скінченний граничний простір тоді і лише тоді, коли вона породжується обмеженим автоматом.

Описано нуклеуси груп ітерованих монодромій пост-критично скінченних квадратичних многочленів. Вказано методи побудови та описана структура графів Шрайєра G_n груп ітерованих монодромій суб-гіперболічних квадратичних многочленів. Винайдено алгоритмічний метод підрахунку орбітального коефіцієнту стиску і росту діаметрів графів Шрайєра G_n.

В дисертаційній роботі досліджуються самоподібні групи автоморфізмів однорідних кореневих дерев та асоційовані з ними граничні простори та графи Шрайєра.

Доведено, що групи, породжені обмеженими автоматами, є стискуючими та описано структуру їх нуклеусів. В термінах нескінченних шляхів в нуклеусі стискуючої групи введено поняття пост-критично скінченної групи. Дано простий алгоритмічний критерій, коли стискуюча група є пост-критично скінченною і доведено, що скінченно-породжена група є пост-критично скінченною тоді і лише тоді, коли вона породжується обмеженим автоматом.

Показано, що довільні дві різні плитки одного рівня стискуючої групи мають скінченний перетин (граничний простір є пост-критично скінченним) тоді і лише тоді, коли група є пост-критично скінченною. Як наслідок, показано, що у стискуючої групи, яка задовольняє умові відкритої множини, плитки граничного простору мають скінченну границю тоді і лише тоді, коли ця група є пост-критично скінченною.

Описано нуклеуси груп ітерованих монодромій пост-критично скінченних квадратичних многочленів.

Вказано підстановочні правила побудови графів Шрайєра G_n груп ітерованих монодромій суб-гіперболічних квадратичних многочленів. З кожною такою групою асоційована лінійна рекурентна система , n 1, з невід'ємною цілочисельною матрицею F. Доведено, що орбітальний коефіцієнт стиску групи дорівнює , де – мінімальна експонента росту компонент вектора . Доведено, що експонента росту діаметрів графів Шрайєра G_n збігається з числом Перона матриці F. Вказано межі знаходження степенів росту орбітальних графів Шрайєра G(,w), .

Запропонована в дисертаційній роботі методика може бути використана при подальшому дослідженні та класифікації скінченно-породжених самоподібних груп автоморфізмів однорідних кореневих дерев та дослідженні графів Шрайєра і граничних просторів, асоційованих з цими групами.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Віталію Івановичу Сущанському та Володимиру Володимировичу Некрашевичу за постановку задач, постійну увагу і підтримку в роботі.

Публікації автора:

1. Bondarenko E., Nekrashevych V. Post-critically finite self-similar groups // Algebra and Discrete Mathematics. – 2003. – № 4. – P. 21-32.

2. Бондаренко Є.В. Графи Шрайєра груп ітерованих монодромій суб-гіперболічних квадратичних многочленів // Математичні студії. – 2004. – Т. 22, № 2. – С. 159-175.

3. Бондаренко Є.В. Дії груп ітерованих монодромій суб-гіперболічних квадратичних многочленів на кореневому дереві // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2005. – № 4. – С. 25-30.

4. Бондаренко Є.В. Дії груп ітерованих монодромій гіперболічних квадратичних многочленів на кореневому дереві // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2006. – № 2. – С. 15-20.

5. Bondarenko I., Nekrashevych V. Growth of Schreier graphs of groups generated by bounded automata // 5th International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005). – Odessa, 2005. – P. 38-39.

6. Bondarenko I., Nekrashevych V. Post-critically finite groups // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006 р.). – Київ, 2006. – С. 337.