Анотація до роботи:

Кулаковська І. В. Скінченні орієнтовні графи та їх застосування в структурній теорії кілець. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

В дисертаційній роботі застосовується до вивчення праворядних кілець техніка, яка пов’язана з поняттями сагайдака кільця і тензорних алгебр бімодуля, що дає простий опис класу кілець, до якого входять праворядні алгебри над досконалим полем. Крім того, описані праворядні квазіфробеніусові, а також праворядні спадкові кільця.

Досліджується зв’язок між довільним нерозкладним зведеним нетеровим справа напівдосконалим напівпервинним напівдистрибутивним кільцем та певними видами сагайдаків, пов’язаних з таким кільцем. Також описуються дводольні графи, які виникають при вивченні скінченно представних модулів і доводиться теорема про напівпримарні напівдистрибутивні кільця скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю (діаграми таких кілець містять схеми Динкіна).

В дисертаційної роботі розв’язується задача дослідження напівдосконалих кілець за допомогою їх сагайдаків, які відіграють важливу роль в структурній теорії кілець. Досліджено досконалі праворядні кільця та зв’язність їх сагайдаків; описано напівдосконалі та спадкові праворядні кільця, для яких узагальнено властивості сагайдаків праворядних кілець.

Побудовано праворядне нетерове нерозкладне кільце, яке є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця, та доведено існування слабосиметричної алгебри, яка не є симетричною. Також вивчені властивості сагайдаків квазіфробеніусових кілець та досліджені сагайдаки нетерових справа напівдосконалих напівпервинних напівдистрибутивних.

В дисертації вперше отримано такі нові теоретичні результати:

існує (n+1)ⁿ помічених праворядних сагайдаків на n точках;

кількість зв’язних помічених праворядних сагайдаків дорівнює

кількість сильно зв’язних помічених праворядних сагайдаків на n вершинах дорівнює (n-1)!;

доведено умови рівносильні для досконалого праворядного кільця A: A нерозкладне; факторкільце A/R² нерозкладне; сагайдак Q(A) зв’язний;

спадкове справа досконале праворядне кільце є артіновим справа;

наведено приклад праворядного нетерового нерозкладного кільця, яке не є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця;

для довільного сильно зв’язного сагайдаку Q і для довільного поля k існує симетрична k–алгебра А така, що Q= Q(A);

для напівпримарних напівдистрибутивних кілець доводиться аналог теореми Габріеля із застосуванням діаграм Динкіна: A_n, D_n, E₆, E₇, E₈;

розглянуто слабосиметричні скінченновимірні алгебри над полем, побудовано приклад слабосиметричної скінченновимірноі алгебри, яка не є симетричною.

Публікації автора:

1. Журавльов В.М., Кулаковська І.В. Сагайдаки часткових відображень. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. - Серія: фізико-математичні науки. - 2001. - №1. – С. 14-21.

2. Журавльов В.М., Кулаковська І.В. Сагайдаки однозначних відображень. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. - Серія: фізико-математичні науки. - 2001. - №4. – С. 33-36.

3. Кулаковська І.В. Досконалі праворядні кільця. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. -Серія: математика. механіка.– 2004. - № 11-12.– С.81-82.

4. Кулаковская И.В. Полупримарные полудистрибутивные кольца конечного типа. - Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. - Серія: фізико-математичні науки. - 2005. - №2. – С. 24-37.

Тези і доповіді:

5. Кулаковская И.В. О праворядных совершенных кольцах. - Міжнародна матем. конференція, присвячена сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті.-Київ: Інст. матем. НАН України.-2002.–С. 106.

6. Журавлёв В.Н., Кулаковская И.В. Колчаны частичных отображений - Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Наукове видання. – Суми: Сум ДПУ ім.А.С.Макаренко, 2001. – С. 177-178.

7. Zhuravlev V.N., Kulakovska I.V. On quivers of partial maps – ІV International Algebraic conference in Ukraine. Abstracts. –Lviv: LNU Franka. -2003. – Р.126.

8. Кулаковская И.В. Праворядные кольца. -Международная алгебраическая конференция, посв. 250 Моск. Унив.: Тезисы докладов. – М.: Изд-во механ.-матем-го фак-та МГУ. – 2004. – С. 82-83.

9. Kulakovska I.V. Semiprimary semidistributive rings of finite type with zero square radical - V Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні.– Одеса: ОНУ ім.І.І.Мечнікова. - 2005. – С. 116.

10. Кулаковская И.В. О квазифробениусовых алгебрах и кольцах. – Известия Гомельського государственного университета им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. – Гомель: ГГУ – 2006.