Анотація до роботи:

Семеняка С.О. Скiнченновимiрнi апроксимацiї центрального многовиду та їх застосування в якiсному аналiзi нелiнiйних диференцiальних систем. -- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 -- диференцiальнi рiвняння. Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертацiя присвячена розвитку конструктивної схеми методу центрального многовиду для якiсного аналiзу багатовимiрних диференцiальних систем у критичних випадках. Розвинута схема базується на використаннi замiсть вектор-функцiї, що задаї центральний многовид вихiдної системи, її скiнченновимiрної апроксимацiї. Це дає можливiсть спростити якiсний аналiз багатовимiрних диференцiальних систем, що полегшує отримання конкретних результатiв в теорiї стiйкостi i теорiї бiфуркацiй.

В дисертацiї для неавтономної квазiлiнiйної системи диференцiальних рiвнянь розвинуто алгоритм побудови скiнченновимiрних апроксимацiй центрального многовиду. Доведено теорему, що формулює умови, при виконаннi яких задача про стiйкiсть стацiонарного розв'язку вихiдної неавтономної системи зводиться до аналогiчної задачi для пiдсистеми, яка є звуженням вихiдної системи на вiдповiдну апроксимацiю її центрального многовиду.

На основi методу асимптотичних розвинень по координатам, розвинуто та математично обгрунтовано алгоритм побудови скiнченновимiрних апроксимацiй центрального многовиду сiмейства багатовимiрних динамiчних систем з параметром i дано їх застосування в бiфуркацiйному аналiзi.

Основнi результати проведених дослiджень, якi представленi в дисертацiї, полягають у наступному:

1. Для неавтономної квазiлiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з блочно трiангулярною лiнiйною частиною розвинуто алгоритм побудови скiнченновимiрних апроксимацiй центрального многовиду з метою їх застосування до спрощення задачi про стiйкiсть стацiонарних розв'язкiв неавтономних диференцiальних систем у критичних випадках. Доведено теорему, що формулює умови, при виконаннi яких задача про стiйкiсть стацiонарного розв'язку вихiдної системи зводиться до аналогiчної задачi для пiдсистеми, яка є звуженням вихiдної системи на вiдповiдну "скiнченновимiрну апроксимацiю її центрального многовиду".

2. З метою спрощення якiсного аналiзу багатовимiрних динамiчних систем з параметром, на основi методу асимптотичних розвинень по координатам, розвинуто i математично обгрунтовано алгоритм побудови скiнченновимiрних апроксимацiй центрального многовиду i дано їх застосування в бiфуркацiйному аналiзi вихiдного сiмейства.

3. Дослiджено питання про побудову простих нелiнiйних моделей математичної фiзики за допомогою методу центрального многовиду. На прикладi "модифiкованого" рiвняння Дюффiнга проiлюстровано конструктивнiсть розробленого алгоритму побудови скiнченновимiрної апроксимацiї вектор-функцiї, що задає центральний многовид. Як результат отримано математичну модель pitchfork-bifurcation, яку, виходячи з феноменологiчних мiркувань, запропонував Л.Д. Ландау в теорiї фазових переходiв II роду.

4. На основi розвинутої наближеної схеми методу центрального многовиду здiйснено якiсний аналiз системи гiдродинамiчного типу в околi її негiперболiчної точки спокою. Зокрема, знайдено бiфуркацiйне значення визначального параметру, при проходженнi через яке в дослiджуванiй системi вiдбуваїться змiна стiйкостi стацiонарного режиму.

Публікації автора:

1. Баріс Я.С., Ликова О.Б., Наконечна С.О. Застосування апроксимацій центрального многовиду в теорії стійкості // Вісник Київськ. ун-ту, серія: фіз.-мат. науки. -- 2001. -- N4. -- С. 121-127.

2. Ликова О.Б., Наконечна С.О., Жохін А.С. Застосування методу нелінійних перетворень М.М. Боголюбова в задачах гідродинаміки // Укр. фіз. журн. -- 2001. -- Т. 46, N9. -- C. 1007-1011.

3. Ликова О.Б., Семеняка С.О. Про застосування центральних многовидів в теорії стійкості нелінійних систем з параметрами // Вісник Київськ. ун-ту, серія: фіз.-мат. науки. -- 2002. -- N3. -- С. 121-127.

4. Ликова О.Б., Семеняка С.О. Про простi моделi нелiнiйної динамiки // Проблеми динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем. -- Київ: Iн-т математики НАН України. -- 2005. -- Т. 1, N3. -- C. 161-178.

5. Hаконечна С.О. До питання про нелінійні інтегральні многовиди // Hелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. -- Киев: Ин-т математики НАН Украины. -- 1996. -- C. 202-204.

6. Hаконечная С.А. Об одном применении теории центрального многообразия // Hелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. -- Киев: Ин-т математики НАН Украины. -- 1997. -- С. 199-203.

7. Hаконечна С.О. Про застосування апроксимації центрального многовиду точки спокою в одному критичному випадку // Укр. мат. журн. -- 1998. -- Т. 50, N3. -- C. 430-432.

8. Schneider K., Barys Ja. S., Lykova O.B., Nakonechna S.A. Qualitative analysis of some dynamical system of hydrodynamical type // Матерiали Міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". -- Ч. III. -- Чернівці - Київ: Iн-т математики НАН України. -- 1998. -- C. 226-230.

9. Hаконечна С.О. Про застосування центрального многовиду точки спокою // Тези допов. Міжнар. конф. "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань". -- Київ: Iн-т математики НАН України. -- 1997. -- С. 118.

10. Lykova O., Semenyaka S. About one application of the Bogolyubov's integral manifolds method // Тези допов. Київська Боголюбiвська конф."Сучаснi проблеми математики та теоретичної фiзики". -- Київ: Iн-т математики НАН України. -- 2004. -- С. 17-18.