Анотація до роботи:

Бабич Н. О. Cпектральні властивості сильно неоднорідних коливних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2002.

Дисертація присвячена вивченню спектральних властивостей крайових задач для сингулярно збурених диференціальних операторів четвертого порядку. Задачі, які досліджуються у дисертаційній роботі, є математичними моделями теорії сильно неоднорідних середовищ.

У всіх моделях виникають два типи власних коливань, що відповідають власним значенням різного порядку при 0. Перший тип коливань – т. з. низькочастотні – відповідає неперервним за малим параметром власним значенням, і досліджується стандартними методами. Другий тип – т. з. високочастотні власні коливання – це стійкі форми коливань, які моделюються послідовностями власних функцій вигляду {}, де n() при 0. Ці послідовності, елементи яких є швидкоосцилюючими функціями, мають нетривіальні границі в слабкій топології відповідного гільбертового простору. Використовуючи метод ВКБ-наближень доведено існування високочастотних власних коливань для кількох моделей теорії сильно неоднорідних середовищ, побудовано і обгрунтовано їх асимптотичні розвинення.

У дисертації вивчаються спектральні властивості коливних систем із різним характером збурення потенціальної та кінетичної енергій. Такі збурення викликані суттєво різними фізичними властивостями компонент системи. Математично доведено, що у таких системах виникають явища низькочастотних та високочастотних коливань. Перші з них відповідають малим власним значенням і зосереджені в області із меншою енергією - на частині із малим коефіцієнтом жорсткості або із великою густиною. На відміну від них високочастотні власні коливання відповідають високим рівням енергії.

У роботі вперше доведене існування високочастотних власних коливань у жорсткій задачі для звичайного диференціального оператора четвертого порядку. Побудовані та обгрунтовані апроксимації високочастотних власних функцій. Форми високочастотних власних коливань підтримуються власними функціями задачі із великими номерами. У жорстких задачах низькочастотні форми власних коливань підтримуються кожною власною функцією починаючи із деякого значення малого параметра. Високочастотні власні коливання підтримуються різними власними функціями при певних значеннях малого параметра. Вказані типи коливань відрізняються також характером збіжності власних функцій до відповідної граничної форми: при низькочастотних коливаннях цязбіжність є сильною у вихідному просторі L₂(), а при високочастотних – лише слабкою, із необхідно меншою нормою границі. Таке розсіювання енергії відбувається за рахунок швидких осциляцій у частині із малим коефіцієнтом жорсткості.

Для задачі із локальним збуренням густини вперше доведено існування глобальних коливань. Це вдалося зробити завдяки нестандартному вигляду асимптотичних розвинень - використана комбінація степеневих та ВКБ-наближень. Оцінено різницю між частковими сумами розвинень і справжніми власними значеннями та власними функціями задач. Локальні власні коливання є коливаннями, зосередженими в околі збурення густини, які швидко згасають поза ним. Низькочастотні власні функції збігаються до нуля у слабкій топології соболіського простору H². Глобальні власні коливання підтримуються різними власними функціями із великими номерами при певних значеннях малого параметра. Ці власні функції, у порівнянні із локальними, в околі збурення володіють ще швидшими осциляціями із меншою мплітудою і збігаються у сильній топології простору H².

Публікації автора:

1. Бабич Н. О., Головатий Ю. Д. Спектральна задача Неймана для сингулярно збуреного диференціального оператора четвертого порядку // Вісн. Львів. ун-ту, сер. мех. – матем. – 1998. – Вип. 51. – C. 118-127.

2. Бабич Н. О. Короткохвильова асимптотика глобальних коливань у задачі із локально-збуреною густиною // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1999. – T. 42, № 3. – C. 36-44.

3. Babych N. O., Golovaty Yu. D. Complete WKB asymptotics of high frequency vibrations in a stiff problem // Matematychni Studii. – 2000. – V.14, no. 1. – C. 59-72.

4. Бабич Н. О. Асимптотика низькочастотних власних коливань у жорсткій задачі // Вісн. Львів. ун-ту, сер. мех. – матем. – 2000. – Вип. 58. – C. 97-108.

5. Бабич Н. О. Про ефект локальних власних коливань для одновимірної коливної системи четвертого порядку // Інститут математики НАН України. Матеріали Міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". – Ч. 1 – Чернівці – Київ. – 1998. – C. 11-14.

6. Бабич Н. О. Спектральна задача Неймана для сингулярно збуреного диференціального оператора четвертого порядку // Матеріали VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ. – 1998. – C. 26.

7. Бабич Н. О. Глобальні коливання у системі із локально-збуреною густиною // Матеріали VШ Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ. – 2000. – C. 17.

8. Babych N. Complete asymptotic expantions of high frequency vibrations for one stiff problem // Nonlinear Partial Differential Equations. Book of Abstracts. – Lviv. – 1999. – P. 13.

9. Babych N. On WKB-expansions of high frequency vibrations in a stiff problem // Int. Conf. on Func. Analysis and its Applications dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach. Book of Abstracts. – Lviv. – 2002. – P. 22.