Анотація до роботи:

Доманов І.Ю. Спектральний аналіз деяких класів вольтеррових операторів та пов’язані з ними операторні алгебри– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз.---Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2004 р.

В дисертації проведено спектральний аналіз натуральних степенів оператора

(V_q,wf)(x)=q(x)f(t)w(t)dt (q О L_p[0,1], wО L_p’[0,1], (p’^-1+ p^-1 =1), q(x)w(x) = для м.в. x О[0,1]) в просторі L_p[0,1], оператора дробового інтегрування (, або a > k-1/p) в соболевскому просторі [0,1] і оператора , в соболевскому просторі вектор-функцій . Для цих операторів одержані описи їх циклічних підпросторів, обчислені спектральні кратності та disc-характеристики. Також знайдені критерії їх одноклітиності. Для операторів и описані гратки інваріантних та гіперінваріантних підпросторів, а також операторні алгебри пов’язані з ними : комутант , ; бикомутант , ; і алгебри , (AlgA --- позначає слабо-замкнену алгебру, яка породжена A та одиничним оператором).

В дисертації проведено спектральний аналіз натуральних степенів оператора (V_q,wf)(x)=q(x)f(t)w(t)dt (q О L_p[0,1], wО L_p’[0,1], (p’^-1+ p^-1 =1), q(x)w(x) = для м.в. x О[0,1].) в просторі L_p[0,1], оператора дробового інтегрування (, або a > k-1/p) в соболевскому просторі [0,1] і оператора , в соболевскому просторі вектор-функцій .

Всі результати ( за випадком декількох частинних випадків) одержані в роботі є новими, а саме

1) Для оператору V_q,w, а також його натуральних степенів а) одержано критерій циклічності підпростору span{f₁,…,f_n} у термінах *- визначників, побудованих за системою ; б) обчислені спектральна кратність та disc- характеристика у термінах функцій q і w; в) одержано критерій одноклітинності: V_q,w є одноклітинним тоді й тільки тоді V_q,w є квазіподібним до оператору звичайного інтегрування J помноженого на деяке дійсне число c і тоді й тільки тоді функція sign(qw)(x) майже всюди на відрізку [0,1] дорівнює 1 або -1.

2) для операторів і (а також деяких їх скінченномірних збурень)

а) одержано критерії циклічності підпросторів span{f₁,…,f_n} у термінах звичайних визначників, побудованих за системою ; б) обчислені спектральна кратність та disc - характеристика операторів і у термінах чисел , і (для оператора ); в) одержані описи граток інваріантних і гіперінваріантних підпросторів; г) одержано описи комутантів, бікомутантів та слабо-замкнених алгебр, яки породжуються операторами і .

3) одержано приклади, які показують, що для двох обмежених операторів A і B наступні імплікації взагалі кажучи не є вірними :

Hyplat (AЕB )= HyplatA Е HyplatB Ю Lat( AЕB ) = LatAЕ LatB,

Alg (A Е B) = { A ЕB}”, AlgB = {B}” Ю AlgA = {A}”.

Публікації автора:

[1] Доманов І.Ю. Про циклічні та інваріантні підпростори оператора J ДB у соболевських просторах //Доповіді НАНУ.-1999.-№ 5.-С. 20-25.

[2] Domanov I.Yu. On Cyclic and Invariant Subspaces of the Operator J ДB in the Sobolev spaces of vector functions// Methods of Functional Analysis and Topology.-1999.-v.5.-№ 1.-P.1-12.

[3] Доманов И.Ю., Маламуд М.М. О решетках инвариантных и гиперинвариантных подпространств оператора J^a ДB в соболевских пространствах// Математические заметки.-2001.-т.70.- №.4.-С.560-567.

[4] Доманов И.Ю. О спектральной кратности некоторых вольтерровых операторов в соболевских пространствах// Математические заметки.-2002.-т.72.-№. 2.-С.306-311.

[5] Domanov I.Yu., Malamud M.M. Invariant and hyperinvariant subspaces of an operator and related operator algebras in sobolev spaces// Lin. Alg. and Its Appl.-2002.- vol. 348/1-3.-P.209-230.

[6] Доманов И.Ю. Спектральный анализ степеней оператора (V_q,wf)(x)=

=q(x)f(t)w(t)dt// Математические заметки.-2003.-т.73.-№. 3.-С.444-448.

[7] Доманов І.Ю. О циклических подпространствах оператора (V_q,wf)(x)=

=q(x)f(t)w(t)dt// Успехи матем. наук.-2003.-т.58.- вып. 1.- С.183-184.