Анотація до роботи:

Просянюк Н.С. Статистичні задачі теорії чисел. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2003 р.

В дисертаційній роботі викладається метод гармонійного аналізу для підрахунку цілих точок в областях, показано використання методів M.Huxley та L.Mordella для побудови асимптотичних формул суматорних функцій з умовою конгруентності в статистичній теорії чисел. Досліджується поведінка функції знаків на спеціальних послідовностях в полі гаусових чисел, зокрема, за допомогою гармонійного аналізу збудована асимптотична формула для кількості цілих точок (u,v) з умовою ; на основі нових оцінок тригонометричних сум, отриманих Хакслі дискретним методом Харді-Літлвуда, досліджені залишкові члени цієї формули; вивчена дзета-функція Варінга та знайдена асимптотична оцінка для суматорної функції кількості зображень у вигляді суми трьох кубів в арифметичній прогресії.

В дисертаційній роботі знайдені нові підходи дослідження розподілу точок з цілими координатами та з умовою конгруенції в областях на площині, побудовані нетривіальні асимптотичні формули для суматорної функції, асоційованої з кількістю зображень натурального n сумою трьох кубів в арифметичній прогресії та для суматорної функції кількості цілих точок з умовою конгруенції в овалах.

Вивчення розподілу цілих точок в областях з умовою конгруенції важливе не тільки для статистичної теорії чисел, але і для її застосувань, і, насамперед, для дослідження відповідних дзета-подібних функцій в смузі 0 < Re s < 1.

Наведено узагальнення методу Л. Мордела для вивчення розподілу розв’язків конгруенції в неповних системах лишків, зокрема, знайдена асимптотична оцінка кількості розв’язків конгруенції просте гаусове, фіксовані цілі гаусови числа.

Отримане узагальнення результатів I. Katai, L. Dringo та інших в задачах про розподіл значень функції знаків натуральних чисел на випадок цілих гаусових чисел.

Методика досліджень, яка розвинута в поданій роботі, а також отримані результати можуть бути використані в асимптотичних задачах аналітичної теорії чисел, а також у прикладних дослідженнях, що пов’язані з геометрією чисел.