Анотація до роботи:

Лещенко Ю.Ю. Силовська будова індуктивних границь симетричних груп. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

В дисертаційній роботі досліджується силовська будова однорідної симетричної групи суперстепеня p, тобто індуктивної границі за послідовністю симетричних груп степенів p^k, k N, зі строго діагональними зануреннями. Виділено два континуальні класи силовських p-підгруп групи , кожен з яких розбивається на континуум підкласів попарно спряжених підгруп, встановлено критерії спряженості в кожному з цих класів.

Побудовано природну не резидуально скінченну силовську p-підгрупу групи . В цій підгрупі за допомогою табличного зображення елементів на основі поняття висоти редукованого многочлена виділено клас паралелотопічних підгруп. Встановлено, що при p > 2 класи нормальних паралелотопічних та характеристичних підгруп цієї групи співпадають. Виділено природну резидуально скінченну силовську p-підгрупу групи , встановлено, що вона ізоморфна певній силовській p-підгрупі групи фінітарних автоморфізмів p-адичного дерева. Доведено, що при p > 2 кожна цілком інваріантна підгрупа цієї групи є членом її нижнього центрального ряду.

В дисертації досліджуються силовські p-підгрупи однорідної симетричної групи суперстепеня p, тобто індуктивної границі симетричних груп степенів p^k, k N, що визначається строго діагональними зануреннями.

Однорідна симетрична група суперстепеня p () містить континуум багато силовських p-підгруп. Серед них виділено два природні класи, кожен з яких має потужність континуум та розбивається на континуум підкласів попарно спряжених силовських p-підгруп. Підгрупи одного із цих класів можна охарактеризувати послідовностями елементів групи , а іншого – послідовностями натуральних чисел (або послідовностями канонічних строго діагональних занурень). В термінах цих послідовностей формулюються критерії спряженості силовських p-підгруп приналежних до кожного з класів.

Група містить як резидуально скінченні силовські p-підгрупи, так і не резидуально скінченні. Виділено типові представники цих класів, відповідно групи P і Q. Кожна з наведених груп може бути сконструйована з регулярних циклічних груп порядку p за допомогою певної модифікації конструкції нескінченно ітерованого вінцевого добутку груп підстановок.

Побудовано ізоморфне зображення основної не резидуально скінченної силовської p-підгрупи Q нескінченними наборами редукованих многочленів над полем із p елементів. За допомогою цього зображення та на основі поняття висоти многочлена (відмінного від того, що вводиться при дослідженні силовських p-підгруп симетричних груп степеня p^k, k N) виділено клас так званих паралелотопічних підгруп групи Q. Кожна така підгрупа характеризується нескінченним набором чисел із множини {0} [1; 2). Встановлено, що при p > 2 нормальні паралелотопічні підгрупи групи Q і тільки вони є характеристичними в ній.

Встановлено, що основна резидуально скінченна силовська p-підгрупа P групи ізоморфна канонічній силовській p-підгрупі групи фінітарних автоморфізмів p-адичного кореневого дерева, тобто на неї безпосередньо поширюються всі відомі результати про силовську p-підгрупу групи фінітарних автоморфізмів такого дерева. А саме, так само вводиться табличне зображення елементів, поняття парлелотопічної підгрупи. Доведено, що при p > 2 кожна цілком інваріантна підгрупа групи P є членом її нижнього центрального ряду.

Автор висловлює подяку своєму науковому керівнику професору Сущанському Віталію Івановичу за постановку задач, обговорення і допомогу при оформленні дисертації.

Публікації автора:

1. Лещенко Ю.Ю. Будова не резидуально скінченної силовської p-підгрупи однорідної симетричної групи суперстепеня p // Вісник Київського ун-ту. Серія: фіз.-мат. науки. – 2004. – № 4. – С. 36-44.

2. Лещенко Ю.Ю. Цілком інваріантні підгрупи стандартної силовської p-підгрупи однорідної симетричної групи суперстепеня p // Вісник Київського нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. – 2004. – Вип.12. – С. 85-89.

3. Лещенко Ю.Ю., Сущанский В.И. Силовское строение однородных симметрических групп суперстепени p // Математичні студії. – 2004. – Т. 22, № 2. – С. 141-151.

4. Лещенко Ю.Ю., Сущанский В.И. Силовские p-подгруппы однородных симметрических групп суперстепени p // Доповіді НАН України. – 2005. – № 3. – С. 12-16.

5. Лещенко Ю.Ю. Характеристичні підгрупи не резидуально скінченної силовської p-підгрупи однорідної симетричної групи суперстепеня p // Вісник Київського ун-ту. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – № 3. –
   С. 44-50.

6. Leschenko Yu.Yu. On Sylow's structure of homogenous symmetric group of superdegree p // Друга Літня школа “Алгебра і топологія”. – Долина, 2004. – С. 20-21.

7. Leschenko Yu.Yu. Characteristic subgroups of one Sylow p-subgroup of homogenous symmetric group of superdegree p // П’ята міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. – Одеса, 2005. – С. 126-127.