Анотація до роботи:

Гришко Ю.В. Симетричні підмножини та фарбування груп. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

В дисертації отримано числові та кардинальні характеристики груп по відношенню до їх симетрій та фарбувань. Зокрема, виведено формули підрахунку числа симетричних -фарбувань скінченної групи та числа класів еквівалентних симетричних -фарбувань . Доведено, що при будь-якому -фарбуванні скінченної абелевої групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина потужності . В неабелевому випадку побудовано контрприклади до цього твердження. Доведено, що якщо група при будь-якому 2-фарбуванні містить нескінченну однокольорову симетричну підмножину, то є або зліченною локально скінченною, або майже циклічною.

В дисертації отримано числові та кардинальні характеристики груп по відношенню до їх симетрій та фарбувань. Зокрема, одержано наступні нові результати.

Виведено формули підрахунку числа симетричних -фарбувань скінченної абелевої групи та числа класів еквівалентних симетричних -фарбувань:

де – функція Мьобіуса частково впорядкованої множини підгруп .

З допомогою цих формул підраховано числа та . Якщо непарне, то

,

.

Якщо ж , де і непарне, то

,

.

Тут добуток поширюється на всі прості числа, що ділять вказане число.

Запропоновано загальні формули підрахунку чисел та для довільної скінченної групи через решітку так званих точних розбиттів:

• Доведено, що для будь-якого -фарбування скінченної абелевої групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина потужності .

  Доведено, що для скінченної абелевої групи існує 2-фарбування без однокольорових симетричних підмножин потужності тоді і тільки тоді, коли має елемент порядку 4.

  Доведено, що для будь-яких та існує як завгодно велика скінченна група з -фарбуванням без однокольорових симетричних підмножин потужності .

  Доведено, що якщо комутант групи містить нескінченну скінченно породжену підгрупу, відмінну від майже циклічної, то при будь-якому 2-фарбуванні містить нескінченну однокольорову симетричну підмножину. Зокрема, нескінченну однокольорову симетричну підмножину при будь-якому 2-фарбуванні містить вільна група з двома твірними, а також кожна нескінченна скінченно породжена періодична група (розв’язки проблем Р.І. Григорчука [6, Problem 1.2] та І.В. Протасова [6, Problem 1.7] у випадку двох кольорів).

  Доведено, що будь-якого 2-фарбування нескінченної групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина як завгодно великої потужності .

  Доведено, що якщо для групи існує 2-фарбування без нескінченних однокольорових симетричних підмножин, то є або зліченною локально скінченною, або майже циклічною.

  Побудовано зліченну локально скінченну групу з єдиним елементом порядку 2 та майже циклічну групу з єдиним елементом порядку 2, які при будь-якому 2-фарбуванні містять нескінченну однокольорову симетричну підмножину.

  Всі ці результати автором одержано самостійно і вперше.