Анотація до роботи:

Болілий Василь Олександрович. Сингулярно збурені диференціальні рівняння з псевдодиференціальною точкою звороту. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню і побудові асимптотики розв’язку сингулярно збурених диференціальних рівнянь третього та четвертого порядків з псевдодиференціальними точками звороту. Дослідження проводиться за допомогою методу істотно особливих функцій. Для випадків стабільної, нестабільної та внутрішньої точок звороту побудовано асимптотику розв’язку сингулярно збуреного диференціального рівняння на всьому відрізку, включаючи і точку звороту.

У дисертаційній роботі досліджено сингулярно збурені диференціальні рівняння третього та четвертого порядку з точками звороту.

Дано означення псевдодиференціальної точки звороту для сингулярно збуреного диференціального рівняння третього порядку загального вигляду. Виділено клас сингулярно збурених диференціальних рівнянь, що містять псевдодиференціальну точки звороту.

На основі методу істотно особливих функцій розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв’язків сингулярно збурених диференціальних рівнянь з псевдодиференціальною точкою звороту, узагальнено методу істотно особливих функцій на диференціальні рівняння третього та четвертого порядків.

У дисертаційному дослідженні розглянуто сингулярно збурені диференціальні рівняння, що містять похідні як парних, так і непарних степенів. У точці звороту коефіцієнти біля невідомої функції та біля першої похідної перетворюються в нуль. Хоча вироджене рівняння, що відповідає сингулярно збуреному диференціальному рівнянню, є алгебраїчним, що відповідає випадку алгебраїчної точки звороту, але нуль коефіцієнта при першій похідній невідомої функції зумовлює особливості при побудові асимптотики розв'язку сингулярно збуреного диференціального рівняння з псевдодиференціальною точкою звороту.

З'ясовано залежність стабільних та нестабільних коренів характеристичного рівняння, що відповідає сингулярно збуреному диференціальному рівнянню, від малого параметру.

Розглянуто різні випадки точок звороту: стабільна точка звороту, нестабільна точка звороту та внутрішня точка звороту. Для кожного випадку проведено розширення збуреного диференціального рівняння, описано відповідні простори безрезонансних розв'язків, побудовано асимптотику розв'язку сингулярно збуреного диференціального рівняння, дано оцінки залишкових членів асимптотик.

Публікації автора:

1. Бобочко В.Н., Болилый В.А. Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений // Нелінійні коливання. – 1999. – Т. 2, № 2. – C. 170-177.

2. Бобочко В.Н., Болилый В.А. Особенности интегрирования линейных дифференциальных уравнений общего вида с точками поворота // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.: Сб. науч. тр. Ин-т математики НАН Украины. К.: 1999. – C. 43-47.

3. Болілий В.О. Внутрішня точка звороту в диференціальному рівнянні третього порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – Т. 43, № 3. – C. 44-50.

4. Болилый В.А. Внутренняя псевдодифференциальная точка поворота в дифференциальном уравнении четвертого порядка // Труды XXIII Конференции молодых учених механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. – М., 2001. – C. 50-52.

5. Болилый В.А. Пример псевдодифференциальной точки поворота в дифференциальном уравнении третьего порядка // Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. – М., 2002. – С. 34-37.

6. Бобочко В.М., Болілий В.О. Внутрішня псевдодиференціальна точка звороту в диференціальному рівнянні типу Орра-Зоммерфельда // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – К., 2002. – вип. № 1. – C. 89-96.

7. Болілий В.О. Нестабільна точка звороту в диференційному рівнянні третього порядку // Математичні Студії. – 2002. – Т. 18, № 2. – C. 157-168.

8. Бобочко В.М., Болілий В.О. Псевдодиференціальна точка звороту в диференціальному рівнянні четвертого порядку // Вісник Київського університету. Математика та механіка. – 2002. – Вип. 7-8. – С. 5-9.

9. Болилый В.А. Нестабильная псевдодифференциальная точка поворота в терии сингулярных возмущений // Тезисы докладов конференции ''Понтрягинские чтения - Х''. – Воронеж, ВГУ. – 1999. – C. 41.

10. Болилый В.А. Псевдодифференциальная точка поворота в уравнении четвертого порядка // Тези доповідей Міжнародної конференції ''Диференціальні та інтегральні рівняння'' (DIFIN-2000). – Одеса, ОГУ. – 2000. – C. 36-37.

11. Болилый В.А. Нестабильная псевдодифференциальная точка поворота в дифференциальном уравнении четвертого порядка // ''Диференціальні рівняння і нелінійні коливання''. Тези доповідей. Український математичний конгрес. – Київ. – 2001. – C. 21-22.