Анотація до роботи:

Деканов С. Я. Тауберові та мерсерові теореми для деяких методів підсумовування функцій кількох змінних. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2004.

Дисертація присвячена, по-перше, з’ясуванню необхідних і достатніх умов у деяких мерсерових теоремах, пов’язаних з перетворенням t_n=a_nS_n+(1–a_n) _k=0ⁿ p_kS_k/ _k=0ⁿ p_k, узагальненню цих теорем на банаховозначні послідовності (S_n) і функції S(x) та узагальненню однієї теореми Рогозинських шляхом заміни сталих коефіцієнтів a_j у перетворенні t_k=_j=1 a_jf_k^(j) на функції a_k^(j).

По-друге, поняття статистичної збіжності числової послідовності (S_n) до числа A, яке визначається рівністю lim_n –––¹_{n+1 kn:|Sk–A|e}1=0 "e>0, узагальнено на прості та подвійні послідовності з дійсного, віддільного, локально опуклого лінійного топологічного простору L. Після цього знайдено статистичні (у яких замість звичайної збіжності середніх береться статистична збіжність) D-властивості (так би мовити, джерела тауберових теорем) і доведено статистично підсилені тауберові теореми із залишком для однократних методів підсумовування типу методів Гельдера і Чезаро, Вороного класу W_Q та для подвійних методів Ріса і Вороного класу W²_Q, заданих над простором L.

Дисертація є теоретичним дослідженням, яке присвячене теоремам типу Мерсера і типу Таубера. Основні її наукові результати полягають у наступному.

1. Підсилено мерсерові теореми М. О. Давидова для послідовностей і для функцій шляхом з’ясування необхідних та необхідних і достатніх умов; усі результати доведені для банаховозначних послідовностей і функцій.

2. Узагальнено одну мерсерову теорему Рогозинських шляхом розгляду більш загального, ніж Rⁿ, – а саме довільного скінченновимірного нормованого простору L_n, шляхом заміни числового ряду функціональним, а звичайного поняття границі функції – поняттям границі за системою множин U_r.

3. Введено поняття (p,m,s)-статистичної збіжності та обмеженості простих і подвійних послідовностей, що набувають значень з лінійного топологічного простору L. Для однократних послідовностей ці поняття узагальнюють поняття статистичної збіжності, яку розглядали Х. Фаст, Дж. Фрайді і М. Хан, а для подвійних вони вводяться вперше.

4. Сформульовано означення D(p,m,s)-точок у більш зручній формі, ніж у Г. О. Михаліна, і узагальнено (p,m,s)-властивість і тауберові теореми із залишком для методів підсумовування (H,p,a) і (C,p,a), знайдені Г. О. Михаліним, на випадок статистичної збіжності та обмеженості середніх.

5. Доведено статистичну D-властивість методів підсумовування Вороного класу W_Q, з якої випливають: класична (с)-властивість методів Чезаро, доведена М. О. Давидовим, (с)-властивість додатних поліноміальних методів Вороного, доведена Л. Ф. Таргонським, а також багато статистично підсилених тауберових теорем із залишком.

6. Доведено статистичну D-властивість і тауберові теореми із залишком для факторизованих методів Ріса підсумовування послідовностей з лінійного топологічного простору L. Цим самим узагальнено результати М. О. Давидова, М. Ф. Бурляя та В. М. Алданова.

7. Доведено статистичну D-властивість і тауберові теореми із залишком для методів підсумовування Вороного класу W²_Q у лінійному топологічному просторі L. Цим узагальнено результати М. О. Калаталової.

Використані методи досліджень дозволяють стверджувати, що результати, отримані для подвійних послідовностей, можуть бути поширені на m-кратні послідовності і відповідні факторизовані методи підсумовування.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Білоцький М. М., Деканов С. Я., Михалін Г. О. Тауберові теореми із залишком для методів підсумовування Вороного з раціональною твірною функцією // Фрактальний аналіз і суміжні питання: Зб. наук. праць. – К.: ІМ НАНУ – НПУ ім. Драгоманова, 1998. – 2. – С. 178 – 189.

2. Деканов С. Я., Михалін Г. О. Узагальнення однієї теореми Рогозинських // Укр. матем. журн. – 2000. – Т. 52. – № 2. – С. 220 – 227.

3. Деканов С. Я. Статистична D-властивість методів підсумовування Вороного класу // Укр. мат. журн. – 2003. – Т. 55. – № 3. – С. 360 – 372.

4. Деканов С. Я. Статистична збіжність і тауберові теореми із залишком для методів підсумовування типу методів Гельдера і Чезаро // Вісник. Математика. Механіка: К.: Вид-во Київ. ун-ту, 2003. – №№ 9 – 10. – С. 91 – 97.

5. Деканов С. Я., Михалін Г. О. Про деякі мерсерові теореми М. О. Давидова // Тези міжнар. конф. “Асимпт. методи в теорії диф. рівнянь”. – К.: Вид-во НПУ ім. Драгоманова, 2002. – С. 12.

6. Dekanov Stanislav. Statistical D-property of Voronoi Summation Methods of the Class // Voronoi Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations: Abstracts. – Kyiv: Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, 2003. – P. 21.