Анотація до роботи:

Дюкарев Ю. М. Теорія інтерполяційних задач у класі Стільтьєса і суміжні питання аналізу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2006.

Для стільтьєсівських матриць-функцій (МФ) поставлено та вирішено узагальнену інтерполяційну задачу. Доведено збіг множини канонічних і множини N - екстремальних рішень 1 та 2-го роду. Доведено критерій повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі в термінах збіжності двох рядів, елементи яких є ортогональними системами МФ. Узагальнено класичний критерій Стільтьєса невизначеності проблеми моментів у термінах збіжності двох рядів з додатними членами. Узагальнено на матричний випадок теорему про експоненціальний тип резольвентної матриці проблеми моментів Стільтьєса. Таким чином, створено теорію інтерполяційних задач у класі Стільтьєса. Для неванліннівських МФ доведено узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі. Запропоновано метод зведення вироджених задач до повністю невизначених. Дано повний опис можливих значень дефектних чисел симетричних операторів, породжених блочними матрицями Якобі. Узагальнено на матричний випадок результати М.Г. Крейна з проблеми моментів на компактному інтервалі.

В дисертаційній роботі побудовано теорію інтерполяційних задач у класі стільтьєсівських матриць-функцій (МФ). Застосування цієї теорії дозволило дістати певний ряд нових результатів для конкретних інтерполяційних задач. А саме:

1. Для стільтьєсівських МФ вперше поставлено і вирішено узагальнену інтерполяційну задачу, що містить у собі основні інтерполяційні задачі в класі Стільтьєса. Доведено принцип максимуму для стільтьєсівських пар. Визначено та досліджено канонічні рішення 1 і 2-го роду та - екстремальні рішення 1 і 2 роду узагальненої інтерполяційної задачі стільтьєсівського типу. Доведено збіг множини канонічних рішень 1 і 2-го роду та множини -екстремальних рішень 1 і 2-го роду. Цей результат є новим також і для класичної проблеми моментів Стільтьєса.

2. Запропоновано новий підхід до вирішення вироджених узагальнених інтерполяційних задач стільтьєсівського типу. Цей підхід заснований на погоджених парах підпросторів типу і зведенні вироджених задач до повністю невизначених.

3. Визначено впорядковані сімейства узагальнених інтерполяційних задач і граничні інтерполяційні задачі. Доведено критерій повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі в термінах збіжності двох рядів за спеціальними системами МФ, які в основних прикладах інтерполяційних задач є ортогональними. Цей критерій дозволив отримати нові критерії повної невизначеності задачі Неванлінни-Піка в класі Стільтьєса та проблеми моментів Стільтьєса.

4. Доведено теорему про факторизацію резольвентних матриць узагальнених інтерполяційних задач у класі Стільтьєса. Досліджено мультиплікативну структуру резольвентних матриць впорядкованих сімейств повністю невизначених інтерполяційних задач. Введено параметри Стільтьєса. Доведено узагальнений критерій Стільтьєса повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі. Із використанням цього критерію отримано нові критерії повної невизначеності задачі Неванлінни-Піка в класі Стільтьєса та узагальнено на матричний випадок класичний критерій Стільтьєса невизначеності проблеми моментів. Доведено, що резольвентна матриця повністю невизначеної проблеми моментів є цілою МФ не вище першого порядку мінімального експоненціального типу.

5. Теорію інтерполяційних задач для неванліннівських функцій доповнено означенням граничної інтерполяційної задачі та її повної невизначеності. Доведено узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі. Виконано опис множини всіх рішень граничної інтерполяційної задачі в повністю невизначеному випадку.

6. Запропоновано новий підхід до вирішення вироджених інтерполяційних задач неванліннівського типу, в якому вироджена задача зводиться до повністю невизначеної.

7. Істотно доповнено результати М.Г. Крейна та В.І. Когана щодо можливих значень дефектних чисел симетричних операторів, породжених блочними матрицями Якобі. А саме, нехай зафіксовано натуральне число та довільні цілі числа , які задовольняють нерівностям . Тоді існує ермітова матриця Якобі із блоками розміру така, що та є дефектними числами відповідного асоційованого оператора.

8. Результати М.Г. Крейна щодо скалярної проблеми моментів на компактному інтервалі узагальнено на матричний випадок. А саме, для резольвентної матриці повністю невизначеної матричної проблеми моментів на компактному інтервалі отримано явну формулу. Ця формула є новою також і для скалярної проблеми моментів. У термінах дрібно-лінійних перетворень описано множину всіх рішень повністю невизначеної матричної проблеми моментів на компактному інтервалі. Доведено критерій існування розв'язків матричної проблеми моментів на компактному інтервалі.

Основні результати дисертації опубліковано в 24 статтях у фахових вітчизняних і зарубіжних журналах та в 12 матеріалах і тезах міжнародних математичних конференцій. Вони докладалися на 15 міжнародних математичних конференціях і на семінарах у відомих вітчизняних та закордонних математичних центрах. Результати дисертації набули подальшого розвитку і застосовувались у роботах ряду математиків, що також підтверджує їх актуальність та достовірність.

Публікації автора:

1. Дюкарев Ю.М. Мультипликативные и аддитивные классы Стилтьеса аналитических матриц-функций и связанные с ними интерполяционные задачи. II // Теория функций, функцион. анализ и их прил.-1982.-Вып.38.-С.40-48.

2. Дюкарев Ю.М., Кацнельсон В.Э. Мультипликативные и аддитивныеклассы Стилтьеса аналитических матриц-функций и связанные с ними интерполяционные задачи. 3 // Теория функций, функцион. анализ и их прил.-1984.-Вып.41.-С.64-70.

3. Dyukarev Yu. M. Integral representations of a pair of nonnegative operators and interpolations problems on the Stieltjes class // Operator Theory: Advances and Applications.-1997.-Vol. 95.-P. 165-184.

4. Дюкарев Ю.М. Общая схема решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса, основанная на согласованных интегральных представлениях пар неотрицательных операторов. 1 // Математическая физика, анализ, геометрия.-1999.-Т. 6.-N 1/2.-С. 30-54.

5. Дюкарев Ю.М. Пространства де Бранжа и интерполяционные задачи в классе Стилтьеса // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-1999.-N 444.-С. 101-110.

6. Дюкарев Ю.М. Мультипликативная структура резольвентных матриц интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-1999.-N 458.-С. 143-153.

7. Dyukarev Yu.M. The Stieltjes matrix moment problem and de Branges spaces associated with them .- Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Sci. Publishing, 2000.-P. 79-88.

8. Dyukarev Yu.M. Extremal Solutions of the Generalized Nevanlinna-Pick Problem // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2000.-N 475.-С. 218-229.

9. Дюкарев Ю.М. Факторизация оператор-функций мультипликативного класса Стилтьеса // Доп. НАН України. -2000.- N9.-С. 23-26.

10. Дюкарев Ю.М. Континуальная интерполяционная задача в классе Стилтьеса // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2001.-N 514.-С. 34 -40.

11. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Степенная проблема моментов на компактном интервале // Математические заметки.- 2001.- T.69.-Вып.2.- С. 200-213. English transl. Mathematical Notes.-2001.- Vol. 69.-N 2.-P.176-187. Yu. M. Dyukarev, A.E. Choque Rivero. Power Moment Problem on Compact Intervals // Mathematical Notes.-2001.-Vol. 69.-N2.-P.176-187.

12. Дюкарев Ю.М. Принцип максимума для стилтьесовских пар аналитических матриц-функций // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2002.-N 542.-С. 35 -41.

13. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Задача Неванлинны-Пика в классе S[a,b] // Известия высших учебных заведений. Серия "Математика".-2003.-N 2(489).-C. 36 - 45. English transl. Russian Mathematics.-2003.-Vol. 47.-N 2.-P.34-43.

14. Дюкарев Ю.М. Канонические, N-экстремальные и главные решения обобщенной интерполяционной задачи для стилтьесовских функций // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2003.-N 582.-С. 62 - 70.

15. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Интерполяционная задача в классе R[a,b] // Укр. мат. журн.-2003.-Т. 55.-N 8.-С. 1044-1057. English transl. Ukrainian Mathematical Journal.-2003.-Vol. 55.-N 8.-P.1265- 1282.

16. Дюкарев Ю.М. Описание решений интерполяционных задач в классе Стилтьеса с помощью дробно-линейных преобразований // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2004.-N 645.-С. 12 -21.

17. Dyukarev Yu.M., Serikova I.Yu. Friedrichs and Krein solutions of the Nevanlinna-Pick interpolation problem in the class S[a,b] // Збiрник праць Iнституту математики НАН України.-2004.- Том 1.-N3.-С. 55-66.

18. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач для неванлинновских функций // Известия высших учебных заведений. Серия "Математика".-2004.-N 8(507).-C. 26 - 38.

19. Дюкарев Ю.М. Задача Неванлинны-Пика для стилтьесовских матриц- функций // Укр. мат. журн.-2004.-Т.56.-N2.-С. 366-380.

20. Дюкарев Ю.М. О критериях неопределенности матричной проблемы моментов Стилтьеса // Математические заметки.-2004.-Т.75.- Вып. 1.-C. 71-88. English transl. Mathematical Notes.-2004.-Vol. 75.-N 1.-P.66-82.

21. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Математический сборник.-2005.-T.196.-N3.-С. 61-88. English transl. Sbornik: Mathematics.-Vol. 196.-N3.-P.367-393.

22. Дюкарев Ю.М. Вырожденная задача Неванлинны-Пика //Укр. мат. журн.-2005.-Т.57.-N10.-С. 1334-1343.

23. Choque Rivero A.E., Dyukarev Yu.M., Fritzsche B., Kirstein B. A truncated matricial moment problem on a finite interval // Operator Theory: Advances and Applications.-2005.-Vol. 165.-P. 121-173.

24. Дюкарев Ю.М. О рангах радиусов предельных кругов Вейля, ассоциированных с проблемой моментов Гамбургера // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2005.-N 711.-С. 132 - 155.

25. Дюкарев Ю.М. Пространства де Бранжа и связанные с ними интерполяционные задачи в классе Стилтьеса // Матерiали 6 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-1997.-С. 157.

26. Дюкарев Ю.М. Континуальный аналог интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Матерiали 7 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-1998.-С. 159.

27. Дюкарев Ю.М. О предельных кругах, лунках и интервалах Вейля для одного класса систем дифференциальных уравнений //Тезисы докладов на Межд. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения". -Одесса.-2000.-С. 92-93.

28. Дюкарев Ю.М. Отщепление простейших сомножителей от оператор-функций стилтьесовского типа // Матерiали 8 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-2000.-С. 277.

29. Дюкарев Ю.М. Пошаговое решение интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Тезисы докладов Межд. конф. "Теория функций и математический анализ", посвященной 100-летию Н.И. Ахиезера.-Харьков.-2001.-С. 18-19.

30. Дюкарев Ю.М. Канонические и N-экстремальные решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Тезисы докладов Межд. конф. "Обратные задачи и нелинейные уравнения".-Харьков.-2002.-С. 22-23.

31. Дюкарев Ю.М. Экстремальные свойства стилтьесовских пар // Матерiали 9 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-2002.-С. 275.

32. Dyukarev Yu. M. The Nevanlinna-Pick problem for the Stieltjes matrix functions // Second International Conference "Mathematical Analysis and Economics".-Sumy.-2003.- P. 13.

33. Дюкарев Ю.М. О произведениях Бляшке-Потапова для стилтьесовских оператор-функций // Тезисы докладов Межд. конф. "Колмогоров и современная математика".-Москва.-2003.-С. 299-300.

34. Dyukarev Yu. M. The generalized interpolation problem in the Stieltjes class // International Workshop on Potential Theory and Free Boundary Flows.-K.-2003.-P. 12-13.

35. Дюкарев Ю.М. Критерий полной неопределенности матричнойпроблемы моментов Стилтьеса // Матерiали 10 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-2004.-С. 277.

36. Dyukarev Yu. M., Serikova I.Yu. On the uniqueness for the Nevanlinna-Pick interpolation problem in the class // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis.-K.-2005.-P. 12-13.