Анотація до роботи:

Чернишенко В.С. Топологічний аналіз глобальної стійкості узагальнених вольтеррівських моделей. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2008.

Дисертаційну роботу присвячено розробці нових квадратичних та дробово-раціональних узагальнень класичних вольтеррівських моделей та методів їх якісного аналізу. Розглянуто моделі, які описують: динаміку генетично неоднорідних популяцій; міжпопуляційну конкуренцію з урахуванням енергетичних аспектів цього процесу; залежність параметрів процесу від умов середовища.

Для вивчення динамічних властивостей моделей запропоновані нові алгоритми на основі методів топологічного аналізу фазового простору рівнянь та інваріантного аналізу.

Досліджено глобальну стійкість квадратичних моделей загального вигляду на конусі. Для двовимірних систем побудовані основні інваріанти, на їх основі побудовано загальний критерій обмеженості розв’язків таких систем.

Для узагальнених вольтеррівських систем (квадратичних та дробово-раціональних) отримані повні топологічні класифікації в регулярних випадках. На конкретних прикладах продемонстрована можливість практичного використання методів, які запропоновано.

У дисертаційній роботі запропоновані нові нелінійні узагальнення моделі Лотки-Вольтерри та розроблені методи аналізу їх глобальних топологічних властивостей. Використані як класичні методи топологічного аналізу, так і методи інваріантного аналізу. Були отримані такі результати.

1. Аналіз літературних джерел показав актуальність проблеми розвитку методів топологічного аналізу нелінійних моделей математичної екології, зокрема, узагальнень класичної моделі Лотки-Вольтерри.

2. Запропоновано нелінійні узагальнення вольтеррівських моделей (квадратичні та неквадратичні), які дозволяють описувати такі ефекти: а) взаємодію екологічно розрізнених, але репродуктивно неізольованих субпопуляцій з роздільною або спільною екологічною нішею; б) екологічну пластичність популяцій, їх здатність динамічно регулювати енергетичні витрати на конкуренцію; в) просторову неоднорідність екологічних умов. В якості математичного апарату для опису моделей був використаний апарат диференціальних рівнянь.

3. Для квадратичних моделей загального виду й довільного порядку отримані нові достатні умови існування конусу асимптотичної стійкості. Для випадку неоднорідних квадратичних систем з лінійною частиною вдалося одержати умови обмеженості розв’язків. Визначено клас квадратичних систем (неоднорідних і тих, що можна звести до трикутного виду), розв’язки яких обмежені при будь-яких лінійних частинах і початкових умовах. Доведено дві відповідні леми й п'ять теорем.

4. Розглянуто питання застосовності загального топологічного підходу до аналізу глобальної стійкості вольтеррівських моделей довільного порядку. Для врахування специфіки даного типу моделей запропоновано новий підхід, заснований на переході до логарифмічних координат. Визначено умови, при яких глобальний атрактор моделі належить першому ортанту. Проведено повне топологічне дослідження квадратичних моделей динаміки субпопуляцій у невиродженому випадку, чисельно побудовані й наведені всі основні типи фазових портретів. На основі загального підходу, з використанням апарату афінних перетворень, для моделі з розділеними нішами запропонований алгоритм побудови конуса стійкості. При вивченні квадратичних узагальнень вольтеррівських моделей доведено сім теорем.

5. Для топологічного дослідження неквадратичного (дробово-раціонального) узагальнення вольтеррівскої моделі (енергетичної моделі конкуренції) був розроблений спеціальний алгоритм, що заснований на методах інваріантного аналізу. Для регулярного випадку, коли параметри системи не приймають біфуркаційних значень, побудована повна топологічна класифікація фазових портретів, яка включає вісім нееквівалентних типів. У регулярному випадку описана можливість існування граничних циклів, у нерегулярному – продемонстрована можливість існування атракторів розмірності, більшої нуля. Сформульовані та доведені десять відповідних теорем. Методами комп'ютерної імітації чисельно отримані й представлені графічно всі типи топологічно різних фазових портретів.

6. Показано практичну застосовність моделей, що запропоновані, до опису таких важливих для степового лісознавства екологічних об'єктів, як екоморфи О. Л. Бельгарда (популяції видів, що відрізняються вимогами до екологічних параметрів середовища) та амфіценози (пограничні екосистеми, що включають антагоністичні види-едифікатори з різних екоморф). Дано екологічну інтерпретацію квадратичних узагальнень вольтеррівських систем як моделей взаємодії екоморф. Показано екологічну коректність енергетичної моделі конкуренції (та результатів її топологічного аналізу) як моделі, що відображає особливості динаміки амфіценозів. Для опису просторової динаміки амфіценозів використана спеціальна інтеґро-диференціальна модель конкуренції. Наведено приклад використання моделей з параметрами, що залежать від значень екологічних факторів, при дослідженні конкретної екосистеми Придніпров’я.

Результати дисертації можуть бути використані: для подальшого розвитку методів топологічного аналізу динамічних моделей; при проведенні екологічних досліджень; у навчальному процесі при викладанні курсів з математичного моделювання та системного аналізу.

Публікації автора:

1. Чернышенко В. С. Полная топологическая классификация одной модели экологической конкуренции в регулярном случае / Чернышенко В. С., Белозеров В. Е. // Динамические системы. – 2006. – Т. 21. – С. 21–42.

2. Чернышенко В.С. Исследование обобщенной модели экологической конкуренции с учетом популяционных стратегий видов / Чернышенко В. С., Белозеров В. Е., Чернышенко С. В. // Питання прикладної математики і математичного моделювання. – Д., 2006. – С. 268–288.

3. Чернышенко В. С. Исследование дифференциальной модели динамики нескольких связанных субпопуляций / Чернышенко В. С. // Питання прикладної математики і математичного моделювання. – Д., 2007. – С. 327–336.

4. Чернишенко В. С. Логарифмічні координати в дослідженні стійкості рішень рівнянь Лотки-Вольтерри / Чернишенко В. С., Білозьоров В. Є. // Наукові вісті Національного технічного університету України «КПІ». – 2007. – № 2. – С.148–153.

5. Белозеров В. Е. Об ограниченности решений систем квадратичных дифференциальных уравнений / Белозеров В. Е., Чернышенко В. С., Чернышенко С. В. // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Математика. – 2007. – Т.12, № 8. – С. 35–53.

6. Белозеров В. Е. Топологическая классификация сценариев динамики одной модели экологической конкуренции в сингулярном случае // Питання прикладної математики і математичного моделювання / Белозеров В. Е., Чернышенко В. С. – Д., 2008. – С. 25–37.

7. Чернышенко С. В. Математическая модель динамики и пространственной структуры амфиценоза А. Л. Бельгарда / Чернышенко С. В., Чернышенко В. С. // Питання степового лісознавства та лісової рекультивації земель. – Д., 2004. – С. 276–289.

8. Чернышенко В. С. О математическом моделировании экоморф проф. А. Л. Бельгарда / Чернышенко В.С. // Екологія та ноосферологія. – 2005. – Т. 16, № 1–2. – С. 122–130.

9. Чернышенко В. С. Математическое моделирование межпопуляционных взаимодействий растений в условиях переменных внешних факторов / Чернышенко В. С. // Екологічні дослідження у промислових регіонах України. Матер. Всеукраїнської наук.-практ. конф. – Д., 2005. – С. 81–82.

10. Чернышенко В. С. Экоморфический анализ А. Л. Бельгарда – основа прогнозирования устойчивости защитных лесных устройств в степи / Чернышенко В.С. // Проблеми лісової рекультивації порушених земель України. Тези допов.– Д., 2006.– С. 80–82.

11. Чернишенко В. С. Чисельний аналіз динаміки гетерогенних популяцій / Чернишенко В. С., Кузенков О. О. // Питання прикладної математики і математичного моделювання. – Д., 2007. – С. 337–346.

12. Чернышенко В. С. Модель динамики нескольких субпопуляций с изолированными экологическими нишами / Чернышенко В. С. // Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем (MPZIS-2007). Тези допов. – Д., 2007. – С. 210–211.

13. Белозеров В. Е. Нелинейные методы математической экологии как важная часть курса математического моделирования / Белозеров В. Е., Чернышенко В. С., Чернышенко С. В. // Методологічні та методичні основи активізації навчально-пізнавальної діяльності студентів у процесі вивчення математичних дисциплін. Матер. Всеукраїнської наук.-практ. конф. – Ялта, 2007. – С. 16–19.

14. Чернышенко В. С. Экоморфический анализ А. Л. Бельгарда как теоретическая основа для математического прогнозирования динамики популяций / Чернышенко В. С., Лысенко Я. Ю. // Екологiя та ноосферологiя. – 2008. – Т. 19, № 1–2. – С. 19–30.