Анотація до роботи:

Лиманський Д. В. Умови підпорядкованості для систем мінімальних та максимальних диференціальних операторів у просторах - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. — Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2004 р.

У дисертації отримано критерії слабкої коерцітивності для системи мінімальних диференціальних операторів в ізотропному (анізотропному) просторах Соболєва . Указано широкі класи слабко коерцітивних, але не еліптичних (відповідно не квазіеліптичних) у систем. Також знайдено достатні умови на систему максимальних диференціальних операторів без мішаних похідних у просторах , де , — обмежена область, при виконанні яких розмірність простору мінімально можлива, і вказано широкі класи таких систем. (Тут позначає простір диференціальних поліномів, підпорядкованих системі .)

У дисертації розглянуто задачу про опис просторів (відповідно ) мінімальних (відповідно максимальних) диференціальних операторів, підпорядкованих фіксованій системі інших мінімальних (відповідно максимальних) операторів у просторах , де , — область в .

Всі отримані результати є новими й істотно підсилюють уже відомі твердження, а саме:

1. У випадку мінімальних операторів отримано критерії слабкої коерцітивності системи диференціальних поліномів з - однорідними головними частинами в ізотропному (анізотропному) просторах Соболєва . Ці критерії полягають в еліптичності (відповідно - квазіеліптичності) системи і деяких додаткових обмеженнях на систему поліномів . В ізотропному випадку теорема, що отримана, узагальнює відомий результат де Леу і Міркіла та збігається з ним при . В анізотропному випадку знайдені умови дають наступний наслідок: при та мінімальних обмеженнях на слабка коерцітивність оператора еквівалентна його -квазіеліптичності. Також в ізотропному (анізотропному) випадках указано широкі класи слабко коерцітивних, але не еліптичних (не -квазіеліптичних) систем операторів у . Ці приклади показують, що знайдені формулювання критеріїв слабкої коерцітивності є точними.

2. У випадку максимальних диференціальних операторів знайдено достатні умови на лінійну оболонку системи диференціальних поліномів без мішаних похідних, за яких . Тут підпорядкованість операторів розглядається в просторах , де , — обмежена область у , . Ці достатні умови узагальнюють умови гіпотези М. М. Маламуда і збігаються з ними при . Для випадку зазначено приклад системи операторів у , , для якої умови гіпотези справджуються, але вимірність простору не є мінімальною. Таким чином, доведено, що гіпотеза М. М. Маламуда є вірною, якщо , та є хибною, якщо . Крім того, знайдені достатні умови проілюстровано на прикладах широких класів систем диференціальних поліномів без мішаних похідних. Отримані результати узагальнюють приклади систем, описаних М. М. Маламудом.

Публікації автора:

[1] Лиманский Д. В., Маламуд М. М. О слабой коэрцитивности систем дифференциальных операторов в и // Доклады Академии наук. - 2004. – Т. 397. - № 4. – С. 453-458.

[2] Лиманский Д. В. Об условиях подчинённости для систем минимальных дифференциальных операторов в пространстве // Математические заметки. - 2004. - Т. 75. - № 6. - С. 841-848.

[3] Limansky D. V. On estimates for a system of maximal differential polynomials without mixed derivatives // Methods of Functional Analysis and Topology. – 2003. - Vol.9 .- № 1. - P. 59-79.

[4] Лиманский Д. В. Оценки для систем максимальных дифференциальных полиномов без смешанных производных // Математические заметки. - 2002. - Т. 72. - № 3. - С. 474-477.

[5] Limansky V. V., Limansky D. V. On dimension of a system of maximal differential operators without mixed derivatives // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и Кибернетика". – 2002. – Т 15(54). - № 1. - С. 142-147.

[6] Лиманский Д. В. О двух системах дифференциальных полиномов без смешанных производных // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. –2002. – Т. 7. - С. 108-114.