Анотація до роботи:

Кадубовський О.А. Векторні поля і функції Ляпунова на поверхнях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню векторних полів та гладких функцій з ізольованими особливостями на гладких замкнених орієнтованих поверхнях.

Для полярних полів Морса–Смейла (полів Морса–Смейла без замкнених траєкторій у яких точно одне джерело і один сток) на замкнених орієнтованих поверхнях побудовано більш зручний топологічний інваріант. Встановлено критерій топологічної еквівалентності таких полів в термінах хордових діаграм максимального роду. Підраховано точне значення числа топологічно нееквівалентних полярних полів на орієнтованій поверхні роду 3. Для орієнтованих поверхонь довільного роду наведено техніку підрахунку точного значення цієї величини. За допомогою хордових діаграм з одним циклом для поверхонь великого роду наведено асимптотичну оцінку числа топологічно нееквівалентних полів із вказаного класу.

Досліджено клас гладких функцій з максимумами, мінімумами та однією критичною точкою типу сідла на замкнених орієнтованих поверхнях. З'ясовано питання про реалізацію таких функцій на поверхні довільного роду . Встановлено, що для поверхонь фіксованого роду локальною характеристикою таких функцій в околі єдиної критичної точки типу сідла є число, пов'язане з родом поверхні рівністю , і воно є однаковим для всіх таких функцій. Побудовано повний топологічний інваріант для функцій з вказаного класу. Встановлено критерій топологічної еквівалентності таких функцій в термінах так званих 2-кольорових хордових -діаграм. За допомогою функцій із вказаного класу встановлено критерій топологічної еквівалентності гладких полів (з класу без замкнених і гомоклінічних траєкторій, множина критичних елементів яких складається з джерел, стоків та однієї сідлової особливості на . Підраховано точне значення числа топологічно нееквівалентних функцій (полів) з класу (з класу ) в залежності від роду поверхні .

Встановлено твердження про існування транзитивних потоків на замкненій орієнтованій поверхні довільного роду із заданим набором індексів особливих точок (станів рівноваги), що задовольняють формулу Пуанкаре–Хопфа. Розроблено техніку побудови транзитивного потоку з припустимим набором особливостей на орієнтованій поверхні довільного роду .

–– За допомогою хордових діаграм максимального роду встановлено критерій топологічної еквівалентності полярних полів Морса–Смейла на замкнених орієнтованих поверхнях. Підраховано точне значення числа топологічно нееквівалентних таких полів на орієнтованій поверхні роду 3.

–– За допомогою двокольорових хордових діаграм максимального роду доведено критерій топологічної еквівалентності гладких функцій (з класу ) з однією критичною точкою типу сідла на гладкій замкненій орієнтованій поверхні .

–– Встановлено бієкцію між класами топологічної еквівалентності функцій з множини і класами топологічної еквівалентності полів з множини .

–– Підраховано точне значення числа топологічно нееквівалентних полів (функцій) з класу (з класу ) в залежності від роду поверхні .

–– Для транзитивних потоків на орієнтованих поверхнях встановлено справедливість теореми, оберненої до теореми Пуанкаре–Хопфа. В ході розв'язання вказаної задачі розроблено техніку побудови транзитивного потоку з припустимим набором індексів особливих точок на орієнтованій поверхні довільного роду .

Публікації автора:

1. Кадубовський О. Класифікація векторних полів Морса–Смейла на двовимірних многовидах // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Математика, механіка. – 2005. – Вип. 14. – С. 85-88.

2. Кадубовський О.А. Число топологічно нееквівалентних мінімальних функцій на орієнтованих поверхнях // Тези доповідей Міжнародного семінару "Геометрія в Одесі-2005. Диференціальна геометрія і її застосування". – Одеса, 2005. – С. 53-54.

3. Кадубовський О. Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях // Український математичний журнал. – 2006. – Т. 58, № 3. – С.343-351.

4. Кадубовський О. Про один клас хордових діаграм максимального роду // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. – 2006. – Вип. 1. – С.17-27.

5. Кадубовский А.А. Транзитивные потоки с фиксированным набором индексов критических точек на ориентированных поверхностях // Тези доповідей Міжнародного семінару "Геометрія в Одесі-2006. Диференціальна геометрія і її застосування". – Одеса, 2006. – С.81-83.

6. Кадубовський О. Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях // Нелінійні коливання. – 2006. – Т. 9, № 2. – C. 178-186.