Анотація до роботи:

Бугрій Н.В. Властивості розв'язків рівнянь марковського відновлення. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв'язків рівнянь марковського відновлення на нескінченності.

У дисертації знайдено в явному вигляді перетворення Лапласа довільного розподілу, зосередженого на [0, +), і розподілу часу перебування напівмарковського процесу в кожному фіксованому стані за умови, що хвости цих розподілів є правильно змінними функціями на нескінченності з показником –1. Вивчено асимптотичну поведінку розв'язку рівняння відновлення для напівмарковського процесу, якщо розподіл часу перебування цього процесу в кожному фіксованому стані має правильно змінний хвіст на нескінченності з показником –a, a (0, 1]. Встановлено асимптотику елементів матриці відновлення на нескінченності у випадку a = 1. Досліджено питання про існування граничних розподілів для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу і для часових середніх випадкових еволюцій, побудованих за процесом переносу та напівмарковським процесом. Всі результати отримані для напівмарковських процесів, середній час перебування яких в кожному фіксованому стані є нескінченним.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв'язків рівнянь марковського відновлення.

Основними результатами є наступні:

1) знайдено перетворення Лапласа розподілу, зосередженого на [0,+), хвіст якого є правильно змінною функцією на нескінченності з показником –1, досліджено поведінку цього перетворення Лапласа в нулі; встановлено асимптотику в нулі перетворення Лапласа функції відновлення, побудованої за цим розподілом;

2) знайдено і досліджено в нулі перетворення Лапласа розподілу часу перебування напівмарковського процесу в кожному фіксованому стані, хвіст якого є правильно змінною функцією на нескінченності з показником –1;

3) вивчено асимптотичну поведінку розв'язку рівняння відновлення для напівмарковського процесу, якщо розподіл часу перебування цього процесу в кожному фіксованому стані має правильно змінний хвіст на нескінченності з показником –a, a (0, 1]; асимптотику елементів матриці відновлення на нескінченності у випадку a = 1 встановлено вперше;

4) досліджено питання про існування виродженого граничного розподілу для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу та невласного граничного сумісного розподілу для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу та сім'ї недоскоків цього процесу;

5) встановлено умови існування граничних розподілів часових середніх випадкових еволюцій, побудованих за процесом переносу та напівмарковським процесом, показано приклади застосування таких еволюцій до дослідження реальних стохастичних систем.

Отримані результати, що стосуються напівмарковських процесів, виконуються за умови, що середній час перебування цих процесів в кожному фіксованому стані є нескінченним.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення та можуть бути застосованими в теорії надійності, теорії масового обслуговування, економіці, біології та в інших галузях, в яких використовуються напівмарковські процеси та випадкові еволюції.

Публікації автора:

1. Бугрій Н.В. Деякі проблеми асимптотики розв'язку рівняння відновлення // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 28-32.

2. Єлейко Я.І., Бугрій Н.В. Асимптотика перетворення Лапласа розподілу, який має правильно змінний хвіст з показником –1 // Мат. мет. та фіз.-мех. поля. – 2001. – Т. 44, №2. – С. 30-33.

3. Єлейко Я.І., Жерновий Ю.В., Бугрій Н.В. Граничні розподіли часових середніх випадкових еволюцій, побудованих на розв'язках звичайних диференціальних рівнянь // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. мат. та інформ. – 2004. – Вип. 9. – С. 63-73.

4. Бугрій Н. Дослідження асимптотики розв’язку рівняння марковського відновлення // Математичний вісник НТШ – 2005. – Т. 2. – С. 17-25.

5. Бугрій Н., Єлейко Я. Існування граничних розподілів для сім’ї функціоналів від напівмарковських процесів // Математичний вісник НТШ. – 2006. – Т. 3 – С. 25-37.

6. Buhrii N.V. Investigation of an asymptotic of a renewal matrix // Theory of Stochastic Processes. – 2006. – Vol. 12 (28), № 1-2. – P. 33-37.

7. Бугрій Н.В. Асимптотика перетворення Лапласа функції відновлення, побудованої за напівмарковською матрицею // Укр. мат. конгрес. (Київ, 2001) – Теорія ймовірностей та математична статистика. Тези доп. – К. – 2001. – С. 4-5.

8. Бугрій Н.В. Граничний розподіл функціонала від напівмарковського процесу // Дев'ята Міжнародна наук. конф. імені академіка М. Кравчука (16-19 травня 2002р., Київ): Матеріали конф. – К., 2002. – С. 409.

9. Buhrii N.V. Existence of limit distribution for functional of semi-Markov process // Intern. konf. "Functional analysis and its applications" Dedicated to the 110 anniv. of S. Banach (Lviv, May 28-31, 2002): Book of abstracts. – Lviv. – 2002. – P. 46-47.

10. Buhrii N. Investigation of an asymptotic of the renewal matrix
// International conf. "Modern problems and new trends in probability theory" (Chernivtsi, June 19-26, 2005): Book of abstracts. – Vol. I. – Chernivtsi. – 2005. – P. 36.

11. Buhrii N.V. Limit distribution for semi-Markov process in the scheme of series // International conf. “Skorokhod space 50 years on” (Kyiv, June 17-23, 2007): Book of abstracts. – Part II. – Kyiv. – 2007. – P. 77.