Анотація до роботи:

Городній М.Ф. Властивості розв’язків різницевих і диференціальних рівнянь та їх стохастичних аналогів у банаховому просторі. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.

Досліджено питання про існування і єдиність обмежених, періодичних та -розв’язків деяких класів різницевих рівнянь з не обов’язково обмеженими операторними коефіцієнтами та питання про апроксимацію обмежених розв’язків таких рівнянь розв’язками відповідних крайових різницевих задач. Доведено теорему про наближення обмеженого (на ) розв’язку лінійного диференціального рівняння з секторіальним операторним коефіцієнтом обмеженими розв’язками відповідних різницевих рівнянь. Вказано умови існування єдиного обмеженого розв’язку диференціального рівняння 2-го порядку з малим додатним параметром при другій похідній та секторіальним операторним коефіцієнтом. Доведено, що при ці розв’язки збігаються рівномірно на до єдиного обмеженого розв’язку відповідного диференціального рівняння 1-го порядку. Для різницево-операторних або диференціально-операторних рівнянь, збурених випадковими процесами, одержано критерії існування єдиного обмеженого в середньому порядку p або стаціонарного розв’язку, а також для диференціально-операторних рівнянь – достатні умови неперервної диференційовності на майже всіх траєкторій таких розв’язків. Для їх доведення запропоновано новий метод переходу до еквівалентних детермінованих рівнянь у банахових просторах випадкових елементів.

У дисертації дано вирішення низки актуальних проблем з теорії різницево-операторних і диференціально-операторних рівнянь та їх стохастичних аналогів щодо критеріїв існування і єдиності обмежених, періодичних, -розв’язків різницево-операторних рівнянь, обмежених розв’язків диференціально-операторних рівнянь та обмежених в середньому порядку p і стаціонарних розв’язків їх стохастичних аналогів, а також апроксимації цих розв’язків розв’язками відповідних різницевих рівнянь та крайових різницевих задач. Зокрема, вперше отримано такі результати.

1. Одержано необхідні і достатні умови на операторні коефіцієнти, які забезпечують існування єдиного обмеженого, періодичного або -розв’язку лінійних різницево-операторних рівнянь у банаховому просторі. Ці результати узагальнюють відповідні результати
   В.Ю.Слюсарчука та А.Я.Дороговцева.

2. Запропоновано новий метод доведення єдиності обмеженого розв’язку лінійного різницево-операторного рівняння зі зліченним числом операторних коефіцієнтів, один з яких не обов’язково обмежений замкнений оператор. Цей метод полягає в тому, що операторно-різницеве рівняння записується як операторне рівняння в банаховому просторі послідовностей, а потім за допомогою коефіцієнтів розвинення в ряд Лорана певної операторнозначної функції, яка визначається за допомогою операторних коефіцієнтів початкового рівняння і є аналітичною в кільці, що містить одиничне коло, будується обмежений обернений оператор до оператора .

3. Отримано нові результати щодо існування обмежених або -розв’язків нелінійних різницево-операторних рівнянь із нелінійністю загального вигляду. Для їх доведення узагальнено на випадок рівнянь із нелінійністю загального вигляду запропонований А.Я.Дороговцевим метод доведення існування обмежених розв’язків операторних рівнянь Ріккаті, який явно використовував квадратичний вигляд нелінійності.

4. Доведено теореми про обмеженість розв’язків лінійних та нелінійних дискретних систем Вольтерри у випадку, коли “вхідні” послідовності є обмеженими. Вони узагальнюють відповідні результати В.Б.Колма-новського, який розглядав системи Вольтерри з періодичними “вхідними” послідовностями.

5. Одержано необхідні і достатні умови на операторні коефіцієнти, які забезпечують існування єдиного розв’язку для крайових різницевих задач, відповідних лінійним різницево-операторним рівняням другого порядку, а також доведено теореми про наближення обмежених розв’язків таких рівнянь розв’язками відповідних крайових різницевих задач та отримано оцінки швидкості наближення.

6. Доведено теорему про апроксимацію обмеженого на числовій осі розв’язку лінійного диференціального рівняння першого порядку з секторіальним операторним коефіцієнтом обмеженими розв’язками відповідних різницевих рівнянь – дискретних аналогів диферен-ціального рівняння, що розглядається, коли крок дискретизації прямує до нуля.

7. Вказано достатні умови існування єдиного обмеженого на розв’язку диференціального рівняння другого порядку з малим додатним параметром при другій похідній та секторіальним операторним коефіцієнтом, отримано явний вигляд цього розв’язку. За допомогою операторного числення Данфорда – Коші доведено, що при ці розв’язки збігаються рівномірно на до єдиного обмеженого розв’язку відповідного виродженого диференціального рівняння першого порядку.

8. Для лінійних різницево-операторних та диференціально-операторних рівнянь, збурених обмеженими в середньому порядку p або стаціонарними випадковими процесами, одержано критерії існування єдиного обмеженого в середньому порядку p або стаціонарного розв’язку. Для їх доведення запропоновано новий метод переходу до еквівалентних детермінованих рівнянь у банахових просторах випадкових елементів. При цьому питання про існування єдиного обмеженого у середньому порядку p розв’язку вказаних рівнянь зводиться до питання про існування єдиного обмеженого розв’язку відповідних детермінованих рівнянь.

9. Отримано достатні умови неперервної диференційовності на числовій осі майже всіх траєкторій єдиного обмеженого в середньому порядку p розв’язку диференціального рівняння з секторіальним операторним коефіцієнтом, збуреного обмеженим у середньому порядку p випадковим процесом. Цей результат уточнює аналогічний результат
   А.Я.Дороговцева.

10. Доведено, що, як і у випадку обмеженого операторного коефіцієнта, умова на спектр секторіального оператора А є не тільки достатньою, але і необхідною для того, щоб диференціальне рівняння першого порядку з секторіальним операторним коефіцієнтом А мало для кожного стаціонарного “вхідного” процесу з певного класу єдиний стаціонарний розв’язок. Ця проблема була сформульована
    А.Я.Дороговцевим.