Анотація до роботи:

Півень О.Л. Властивості розв’язків вироджених диференціальних рівнянь вищих порядків з обмеженнями на резольвенту поліноміального жмутка операторів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2006.

Розглядається задача Коші для неявного диференціального рівняння вищого порядку з лінійними замкненими операторними коефіцієнтами, що діють у комплексних банахових просторах. Оператор при старшій похідній може мати нетривіальне ядро.

При степеневих обмеженнях на зростання резольвенти поліноміального характеристичного жмутка рівняння у деякій правій півплощині описано підпростір розв’язків задачі Коші. При тих самих обмеженнях на резольвенту встановлено умови нетривіальності початкового многовиду цієї задачі.

Для неявного диференціального рівняння порядку досліджено неперервну залежність розв’язку та його похідних до порядку від початкових даних (повнократну коректність), а також неперервну залежність частин похідних до порядку (часткову - кратну коректність). Встановлено зв’язок між різними типами часткової й повнократної коректності. Доведено ознаки повнократної й часткової коректності для явних і вироджених рівнянь у термінах обмежень на резольвенту характеристичного жмутка. У випадку гільбертового простору одержано умови коректності у термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння.

Одержано ознаки повноти й базисності елементарних розв’язків неявного рівняння порядку у класі всіх розв’язків та в класі нормальних розв’язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Обмеження формулюються в термінах поведінки резольвенти в усій комплексній площині та деякій лівій півплощині.

Абстрактні результати застосовуються до диференціальних рівнянь з частинними похідними.

1. Описано підпростір розв’язків задачі Коші для виродженого диференціального рівняння вищого порядку при степеневих обмеженнях на норму резольвенти відповідного характеристичного операторного жмутка цього рівняння у деякій правій півплощині. При степеневих обмеженнях на норму резольвенти у деякій правій півплощині або на прямій, паралельній мнимій осі, одержано умови нетривіальності початкового многовиду цієї задачі.

2. Досліджено - кратну коректність, - кратну рівномірну коректність й - кратну експоненціальну коректність задачі Коші для виродженого рівняння порядку , де Одержано інтегральне зображення розв’язку цієї задачі та його похідних через початкові дані при експоненціальних оцінках на норму резольвенти характеристичного жмутка рівняння. За допомогою цього зображення встановлено ознаки - кратної коректності й - кратної експоненціальної коректності задачі Коші в термінах обмежень на зростання резольвенти у деякому куті комплексної площини або правій півплощині. У випадку гільбертового простору одержано умови коректності в термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння.

3. Встановлено умови, за якими розв’язки неявного операторно - диференціального рівняння вищого порядку та їх похідні до порядку включно апроксимуються лінійними комбінаціями елементарних розв’язків. Одержано нову оцінку початкового моменту апроксимації розв’язків неявного рівняння вищого порядку лінійними комбінаціями елементарних розв’язків за умови, що резольвента характеристичного жмутка цього рівняння є мероморфною оператор-функцією скінченого степеня. Доведено нову ознаку повноти елементарних розв’язків у класі всіх розв’язків у випадку, коли резольвента може мати нескінченну степінь. Одержано ознаки повноти елементарних розв’язків у класі експоненціально оцінених (нормальних) розв’язків. При експоненціальних обмеженнях на зростання резольвенти у деяких кутах й послідовності прямих у комплексної площині доведено ознаки базисності канонічної системи елементарних розв’язків у класі всіх розв’язків і у класі нормальних розв’язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Встановлено умови, за яких ряд за канонічною системою елементарних розв’язків служить асимптотичним зображенням при відповідного нормального розв’язку неявного рівняння вищого порядку.

4. Наведено застосування абстрактних результатів до диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Публікації автора:

1. Власенко Л.А., Пивень А.Л. О базисности элементарных решений вырожденных линейных дифференциальных уравнений // Вiсник Харкiвського унiверситету, Серiя "Математика, прикладна математика i механіка ". – 1999. – № 444. – С.94 – 100.

2. Пивень А.Л. Разрешимость задачи Коши и оценки начального многообразия для одного неявного операторно-дифференциального уравнения // Вiсник Харкiвського унiверситету, Серiя "Математика, прикладна математика i механiка". – 1999.– № 458. – С. 101 – 108.

3. Пивень А.Л. Об асимптотическом поведении решений вырожденных линейных дифференциальных уравнений // Вiсник Харкiвського університету. Серія “ Математика, прикладна математика i механiка ”.–2000.– № 475. – С. 334 – 340.

4. Пивень А.Л., Руткас А.Г. О корректности задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка // Доповiдi НАН України.–2003.– № 5.–C. 32–37.

5. Власенко Л.А., Пивень А.Л., Руткас А.Г. Признаки корректности задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка // Укр. мат. журнал.–2004.–Т.56, № 11. – С.1484-1500.

6. Пивень А.Л. Признаки полноты элементарных решений вырожденных операторно - дифференциальных уравнений высокого порядка // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2005. – Т.12, №1. – С. 86 – 102.

7. Власенко Л.А., Півень О.Л. Про єдиність і апроксимацію для однієї задачі Коші // П’ята міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей. – К.: НТУУ (КПІ). – 1996. – С. 70.

8. Власенко Л.А., Півень О.Л. Повнота елементарних розв’язків однієї мішаної задачі // Шоста міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. – К.: НТУУ(КПІ).–1997. – С. 82.

9. Rutkas A.G.,Piven A.L. Correctness conditions for a degenerate abstract Cauchy problem // Мiжнародна конференцiя з функцiонального аналiзу. Тези доповiдей. – К.: Ін-т математики НАН України. – 2001. – Р. 86.

10. Пивень А.Л. Непрерывная зависимость решений одной смешанной задачи от начальных данных // Мiжнародна наукова конференцiя "Шостi Боголюбовськi читання". Тези доповідей. – К.: Ін-т математики НАН України.–2003.–С.176.