Евклідова комбінаторна оптимізація є прогресивним та перспективним напрямком досліджень в області математичного програмування та проблем дослідження операцій, пов’язаних з інформатикою. Серед комбінаторних об’єктів, які потребують всебічного дослідження все важливіше місце займають більш складні структури – полікомбінаторні множини. Інтерес до дослідження апарату полікомбінаторних множин викликаний їх великим практичним значенням щодо постановки та розв’язування задач комбінаторної оптимізації, які описують економічні, соціальні та інші процеси і системи. В дисертаційній роботі поставлена загальна задача полікомбінаторної оптимізації, виявлені та доведені властивості загальної полікомбінаторної множини, а також її частинних випадків – евклідових комбінаторних множин поліпереставлень та полірозміщень. Методи дослідження полікомбінаторних множин, що використовуються в дисертації, ґрунтуються на розвинутих раніше теорії та методах евклідової комбінаторної оптимізації, а також на інших відомих методах дискретної оптимізації. Достовірність результатів дисертації випливає з логічності та строгості математичних доведень лем, теорем та тверджень і підтверджена результатами чисельних експериментів. В дисертації вперше доведені фундаментальні властивості евклідових комбінаторних переставних і поліпереставних многогранників - невиродженість та еквівалентність. Доведені необхідні та достатні умови невиродженості опуклих оболонок загальних множин переставлень та поліпереставлень. Обґрунтовані достатні умови еквівалентності опуклих оболонок евклідових комбінаторних і полікомбінаторних множин переставлень. Встановлення необхідних та достатніх умов невиродженості загальних многогранників переставлень та поліпереставлень дозволяє застосовувати для їх дослідження апарат комбінаторної теорії многогранників, численні методи якого розвинуто, в основному, саме для невироджених многогранників. Доведення достатньої умови еквівалентності комбінаторних многогранників одного типу дозволяє визначити класи еквівалентності за їх первинною специфікацією і досліджувати спільні властивості класу, аналізуючи властивості лише окремого його представника. Умови невиродженості та еквівалентності переставних многогранників можуть бути використані при дослідженні цих важливих властивостей для інших евклідових комбінаторних і полікомбінаторних многогранників. Виявлені надлишкові обмеження в системах лінійних нерівностей, які описують опуклі оболонки загальних евклідових комбінаторних множин розміщень та полірозміщень. Уперше отримано незвідні системи лінійних обмежень для загальних многогранників розміщень та полірозміщень. Головне значення отримання незвідної системи для загальних множин розміщень і полірозміщень полягає у тому, що кожне з обмежень незвідної системи описує реально існуючу гіпергрань, що є частиною опуклої оболонки відповідного комбінаторного многогранника. Відсутність надлишкових обмежень дозволяє значно спростити задачі, що розв’язуються, зменшивши кількість досліджуваних обмежень. Це має велике практичне значення і може бути використано при програмній реалізації задач на розміщеннях для підвищення ефективності відповідних алгоритмів та економії ресурсів ЕОМ. Побудована нова математична модель задачі розміщення об’єктів обслуговування як задачі евклідової полікомбінаторної оптимізації. Вперше для цієї важливої оптимізаційної задачі на основі властивостей полікомбінаторних множин отримано її точний розв’язок. Обґрунтовано поширення методу динамічного програмування для спеціального класу задач полікомбінаторної оптимізації. Властивості дослідженого класу задач використані для отримання точного розв’язку задачі розміщення об’єктів обслуговування методом динамічного програмування. Отриманий точний розв’язок задачі розміщення об’єктів обслуговування доводить безперечну перевагу математичної моделі цієї задачі як задачі евклідової полікомбінаторної оптимізації в порівнянні з існуючим розв’язком, що здійснюється евристичним алгоритмом. Використання різних методів забезпечує гнучкість вибору алгоритму для отримання розв’язку з урахуванням конкретної специфіки певної задачі. Побудовані алгоритми та їх програмна реалізація можуть бути застосовані в реальних задачах планування розміщення об’єктів виробництва або сфери обслуговування. Виокремлення спеціального класу задач на загальній евклідовій полікомбінаторній множині забезпечує виконання необхідних умов відсутності післядії та адитивності цільової функції. Це дозволило вперше застосувати метод динамічного програмування для отримання розв’язку певних задач евклідової комбінаторної оптимізації. Ефективність такого підходу для задачі розміщення об’єктів обслуговування як представника цього класу, підтверджена чисельними експериментами. Властивості спеціального класу задач дозволяють представляти процес розв’язування оптимізаційних задач як багатокроковий і використовувати метод динамічного програмування для отримання розв’язку задач оптимізації на інших полікомбінаторних множинах. | 