Ярка Уляна Борисівна. Задачі типу Діріхле для диференціально-операторних рівнянь парного порядку : дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.02 / Національний ун-т "Львівська політехніка". — Л., 2007. — 149арк. — Бібліогр.: арк. 143-149.
Анотація до роботи:
Ярка У.Б.Задачі типу Діріхле для диференціально-операторних рівнянь парного порядку. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.
Дисертацію присвячено побудові та дослідженню класів збурених операторів задачі типу Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку; диференціально-операторних рівнянь парного порядку; еліптичних рівнянь другого порядку, що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій. Досліджено спектральні властивості розглядуваних операторів. Власні функції операторів збурених задач та елементи біортогональних систем отримано в явному вигляді.
Доведено базисність Ріса систем власних функцій операторів збурених задач.
Встановлено подібність операторів збурених задач до операторів незбурених задач. Доведено однозначну розв’язність досліджуваних задач. Отримано зображення розв’язків збурених задач та їх оцінки зверху.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач типу Діріхле для збурених лінійних диференціальних рівнянь певних класів, диференціально-функціональними операторами, що є ізоспектральними до крайових задач, властивості яких є добре вивчені. Основні результати дисертації розширюють та доповнюють відомі результати, щодо крайових задач для функціонально-диференціальних рівнянь, теорії ізоспектральності та подібності лінійних необмежених операторів.
Побудовано класи операторів функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння другого порядку. Вивчено спектральні властивості збурених задач. В явному вигляді знайдено власні функції цих задач. Доведено базисність Ріса отриманих систем. У випадку функціонально-диференціального збурення встановлено однозначну розв’язність задачі Діріхле, а також оцінку зверху отриманого розв’язку.
Досліджено випадок ізоспектрального збурення оператора задачі Діріхле, система власних функцій якої не є базою Ріса.
Виділено та вивчено клас операторів подібних оператору незбуреної задачі.
Побудовано клас операторів збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі типу Діріхле для диференціально-операторного рівняння парного порядку. Вивчено спектральні властивості збуреної задачі. В явному вигляді знайдено власні функції цієї задачі та елементи біортогональної системи.
Виділено клас операторів збурень для якого система власних функцій задачі типу Діріхле буде базою Ріса в просторі вектор-функцій.
Встановлено умови існування та єдиності розв’язку збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розв’язку.
Побудовано класи операторів збурень за виділеною змінною та за двома змінними, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено в явному вигляді власні функції операторів збурених задач. Доведено базисність Ріса систем власних функцій збурених операторів.
У випадку збурення за виділеною змінною, встановлено однозначну розв’язність збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розв’язку. У випадку збурення за двома змінними, використовуючи базисність Ріса, розв’язок напіводнорідної задачі побудований у вигляді ряду за власними функціями, а також встановлено двосторонні оцінки цього розв’язку. На основі цих оцінок доведено однозначну розв’язність збуреної задачі.
Робота носить теоретичний характер. ЇЇ результати можна використати для дослідження обернених задач спектральної геометрії, аналізу деяких проблем теплопровідності та хвильових процесів.
Публікації автора:
Баранецький Я.О., Каленюк П.І., Ярка У.Б. Збурення крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник ДУ «Львівська політехніка». Прикладна математика. - 1998. -№337.- С.70-73.
Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь // Вісник ДУ «Львівська політехніка». Прикладна математика.- 1999.-№ 364.- С. 310-315.
Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально -операторних рівнянь парного порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля.-1999.- 42, №4.- С.1-6.
Ярка Уляна. Спектральні властивості граничної задачі для абстрактного диференціального рівняння // Вісн. Львів.ун-ту, сер.мех. мат. 2000. вип. 56. -С.185-192.
Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально-фукціональних рівнянь еліптичного типу ізоспектральних задачі Діріхле для рівняння Пуассона // Вісн.Чернівецького ун-ту, сер. Математика 2004. вип.191-192 .-С.146-150.
Баранецький Я., Каленюк П., Ярка У. Спектральні властивості для функціонально-диференціального рівняння // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. Тези доповідей.- Київ.- 1998.- С. 33.
Баранецкий Я.О., Каленюк П.И., Копчук-Кашецкий А.В., Ярка У.Б. Нелокальные эллиптические краевые задачи с одинаковым спектром // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні та інтегральні рівняння». Тези доповідей.- Одеса: АстроПринт.- 2000.- С. 22-23.
Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Ізоспектральні збурення оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння та їх застосування ». Тези доповідей.- Чернівці. - 2006. - С.10.
Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Диференціально-різницеві збурення задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування». Тези доповідей.- Ужгород. -2006. - С.8-9.
Ярка У.Б. Існування та єдність розв’язку крайової задачі для диференціально-операторного рівняння парного порядку // Міжнар. наук. конф. ім. Скоробагатька В.Я. Тези доповідей. - Львів. - 2004. - C. 240.
Ярка У.Б. Абстрактні збурення диференціального оператора задачі Діріхле // XI Міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей.- Київ.-2006. - С.668.
Ярка У.Б, Баранецький Я.О. Ізоспектральність одного класу крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними в обмеженій області // Міжнар. наук. конф. «Шості Боголюбовські читання ». Тези доповідей. - Київ. -2003. - С.256.
Baranetskij Ya., Yarka U. Solution of boundary value problems for abstract differential equations // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of abstracts. - Lviv. - 2002. - P. 29.
