Анотація до роботи:

Шаврова О.Б. Загальні перетворення типу згортки та найкращі наближення функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. – математичний аналіз. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена одержанню оцінок норм інтегральних перетворень типу згортки функцій однієї та багатьох змінних в просторах та в залежності від їх найкращих наближень.

В роботі встановлені оцінки зверху і знизу для загальних перетворень типу згортки в просторах для періодичних функцій однієї змінної з монотонними коефіцієнтами Фур’є в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами в цьому просторі.

Для просторів , які широко досліджуються в Інституті математики НАН України під керівництвом О.І.Степанця, знайдено точні порядкові оцінки загальних перетворень типу згортки для періодичних функцій в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами.

Для періодичних функцій –змінних, які належать просторам або , встановлено оцінки відхилень таких функцій від лінійних середніх типу Марцинкевіча їх кратних рядів Фур’є в метриці цих просторів, за допомогою повних найкращих наближень таких функцій тригонометричними поліномами.

Однією з важливих задач конструктивної теорії функцій є задача дослідження тих чи інших властивостей функцій з заданою послідовністю їх найкращих наближень в тому просторі, до якого вони належать.

Об’єднуючою характеристикою багатьох властивостей функції є її інтегральне перетворення типу згортки, яке має наступний загальний вигляд , де – дійсний параметр, а – довільна функція обмеженої варіації на числовій осі .

Дисертаційна робота присвячена одержанню оцінок норм інтегральних перетворень типу згортки функцій однієї та багатьох змінних в просторах та в залежності від їх найкращих наближень.

Основні наукові результати дисертації полягають у наступному:

1. Встановлено оцінки зверху і знизу для загальних перетворень типу згортки в просторах для періодичних функцій однієї змінної з монотонними коефіцієнтами Фур’є в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами в цьому просторі. Наведені в роботі оцінки доповнюють дослідження, які проведені раніш Шапіро, Боманом – Шапіро та М.П.Тіманом для всього простору . Вони показують, що, коли функція має монотонні коефіцієнти Фур’є, то оцінки М.П.Тімана вдається покращити за порядком (т. 1.2.2, 1.2.3);

2. Знайдено точні порядкові оцінки загальних перетворень типу згортки для періодичних функцій в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами в просторах (т. 2.1.1, 2.1.2). Наведені в роботі результати для просторів є аналогами результатів М.П.Тімана, одержани ним раніш для просторів ;

3. Для конкретних лінійних операторів, які відносяться до методів підсумовування рядів Фур’є (Фейєра, Зігмунда, Бернштейна – Рогозінського, Абеля – Пуассона) одержані нові оцінки норм відхилень функцій від середніх їх рядів Фур’є в просторах . Порівняння оцінок для вказаних лінійних операторів в просторах з аналогічними відомими оцінками у просторах , показує, що в деяких випадках вони за порядком кращі. Крім того, одержано нову оцінку (т. 2.2.5) відхилення функції від бігармонічної функції (для якої функція є граничною) за допомогою найкращих наближень цих функцій тригонометричними поліномами в метриці . Цей результат є аналогом результатів, що одержані раніше в роботах С.Канієва та М.П.Тімана для простору ;

4. Наведено нову оцінку (т. 2.3.1) норм загальних інтегральних перетворень типу згортки для функцій, які задані на всій дійсній осі за допомогою їх найкращих наближень цілими функціями експоненційного типу в просторах . Цей результат дисертації є аналогом досліджень М.П. Тімана для випадку просторів ;

5. Одержано нові результати для періодичних функцій –змінних , які належать до простору . Встановлено оцінки відхилень функцій від лінійних середніх типу Марцинкевіча їх кратних рядів Фур’є в метриці цих просторів, за допомогою повних найкращих наближень таких функцій тригонометричними поліномами. Такі оцінки одержані для наступних методів підсумовування кратних рядів Фур’є: Зиґмунда – Марцинкевіча (т.3.1.3), Бернштейна – Рогозинського – Марцинкевіча (т.3.1.4) та Абеля – Пуассона – Марцинкевіча (т. 3.1.5);

6. Результати підрозділу 3.2 суттєво доповнюють дослідження, які проводились раніш для лінійних операторів типу Марцинкевіча у випадку функцій двох змінних в рівномірній метриці та метриці Марцинкевічєм, Л.В.Жижіашвілі, Р.Таберським, В.Г.Пономаренко, М.П.Тіманом та іншими. В підрозділі 3.2 для вказаних вище методів підсумовування кратних рядів Фур’є такі результати одержано в просторах . Вони надають можливість зробити порівняння та вказати різницю в оцінках розглянутих відхилень в метриці з аналогічними їм оцінками в метриці .

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Шаврова О.Б. О некоторых свойствах преобразований типа свертки в пространствах // Вісник Дніпропетровського університету. – Математика, № 11. – Дніпропетровськ, 2006. – С. 128-134;

2. Шаврова О.Б. Преобразования типа свертки и наилучшие приближения функций, заданных на всей вещественной оси // Вісник Донецького університету. – Серія А. Природничі науки. № 2. – Донецьк, 2006. – С.23-26;

3. Тіман М.П., Шаврова О.Б. Лінійні оператори типу Марцинкевіча для періодичних функцій багатьох змінних в просторах та // Збірник праць інституту математики НАН України (математика). – Том 4, № 1 – Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання. – Київ, 2007. – С. 352-375 (особисто: доведення теорем про наближення функцій багатьох змінних сумами Марцинкевіча);

4. Шаврова О.Б. Линейные операторы типа Марцинкевича для периодических функций многих переменных // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. – Математика и кибернетика. Том № 6/2 (24). – Харків, 2006. – С. 39-42;

5. Шаврова О.Б. Перетворення типу згортки для функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в просторі // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. – Математика и кибернетика. № 2/6 (26) – Харків, 2007. – С. 49-51;

6. Тиман М.Ф., Шаврова О.Б. Некоторые оценки решений полигармонических уравнений // Материалы ХІІ Международной математической школы. – Саратов, 2004. – С. 180-181;

7. Тиман М.Ф., Шаврова О.Б. Приближение функций и преобразование типа свертки // Материалы ІІ Международной научно-практической конференции “Образование без границ – 2005 ”. – Математика, № 13. – Дніпропетровськ, 2005. – С. 41-43 (особисто: отримані оцінки перетворень типу згортки для періодичних функцій однієї змінної);

8. Тиман М.Ф., Шаврова О.Б. О некоторых свойствах преобразований типа свертки для функций, заданных на всей действительной оси // Тези ХІ міжнародної наукової конференції ім. акад. М.Кравчука. – Київ, 2006. – С. 617;

9. Timan M., Shavrova O. The best approximation and transforms of convolution type // Тези міжнародної наукової конференції “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”. – Ужгород, 2006. – С.173-174;

10. Шаврова О.Б. Об аппроксимативных свойствах линейных методов суммирования рядов Фурье в пространствах // Материалы ІІ Международной научно-практической конференции “Дни науки – 2006”. – Математика, № 35. – Дніпропетровськ, 2006. – С. 41-44;

11. Шаврова О.Б. Перетворення типу згортки для функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в просторі // Материали міжнародної науково-практичної конференции „Наука и образование – 2007”. – Математика, № 11 – Дніпропетровськ, 2007. – С. 16-19.

Користуючись нагодою, висловлюю Щиру вдячність моєму науковому керівникові професору Тіману Майору Пилиповичу за увагу, яку він приділив даній роботі, за корисні поради та допомогу.