Анотація до роботи:

Тушев А.В. Зображення груп з умовами скінченності та пов’язані з ними модулі над груповими кільцями.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06. – алгебра та теорія чисел.- –Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

Знайдено зв'язок між теорією Куммера та індукованими зображеннями абелевих груп скінченного рангу. Введено поняття сепаратора модулів, яке надає змогу досліджувати індуковані зображення розв'язних груп. Доведено, що в класі розв'язних груп скінченного рангу з умовою максимальності для нормальних підгруп тільки поліциклічні групи можуть мати точні напівпримітивні незвідні зображення над полем нульової характеристики. Знайдені критерії існування точних незвідних зображень локально нормальних груп над локально скінченним полем. Доведено, що групова алгебра метабелевої групи скінченного рангу над полем нульової характеристики тоді і тільки тоді є примітивною, коли її FC-центр є тривіальним. Доведено теорему про нулі для групових алгебр метабелевих груп скінченного рангу. Описано будову мінімально нескінченних модулів над розв'язними групами скінченного вільного рангу. Описано будову нетерових модулів над мінімаксними абелевими групами. Доведено, що фінітно апроксимовні розв'язні групи без скруту зі слабкою умовою мінімальності для нормальних підгруп є мінімаксними. Описано будову розв’язних груп мінімально нескінченного рангу з метабелевим фіттінговим фактором. Введене поняття мінімально не -груп і описано будову розв'язних періодичних мінімально не -груп.

У дисертаційній роботі розглядаються зображення груп з умовами скінченності та пов'язані з ними модулі над груповими кільцями.

Приблизно із середини 50-х років минулого століття, завдяки передусім роботам Ф.Холла, почалося інтенсивне вивчення групових кілець поліциклічних груп і модулів над ними. На цьому шляху був отриманий ряд глибоких результатів, які поступово оформилися в струнку теорію, що знайшла належне відображення в монографії Д. Пассмана (Passman D.S. The algebraic structure of

group rings. New York: Wiley, 1977). Значний внесок у розвиток теорії групових кілець поліциклічних груп і їхніх модулів внесли такі вчені як Г. Бергман , К. Брукс, Б. Верфріц, С. Донкін, А.Є. Залеський, Дж. Роузблейд, Д. Сігал, Ф.Холл, Д. Харпер та інші.

Разом з тим починаючи з 80-х років, завдяки роботам Д.І. Зайцева і К. Брауна, виникло розуміння того, що дійсною передумовою багатьох важливих властивостей групових кілець поліциклічних груп і модулів над ними є скінченність рангу цих груп. Крім того, дослідження ряду проблем теорії розв'язних груп потребувало вивчення модулів над груповими кільцями розв'язних груп скінченного рангу. Варто також зауважити, що в багатьох важливих випадках, скінченність рангу групи веде до її розв’язності (або узагальненої розв’язності); найбільш глибокі результати в цьому напрямку були отримані М.С.Черніковим (Черников Н.С. Одна теорема о группах конечного специального ранга // Укр.мат.журн.-1990.- Т.42,№ 7.-С.962-970). Цією обставиною пояснюється той інтерес, що виявляють багато дослідників до групових кілець розв'язних груп скінченного рангу та до їх модулів. У зв'язку з цим слід зазначити внесок таких учених: К. Брауна, К. Брукса, Дж. Вілсона, Д.І. Зайцева, І.Мусону та інших. Однак треба зазначити, що теорія групових кілець розв'язних груп скінченного рангу та їхніх модулів далеко не є такою глибокою і повною як у випадку поліциклічних груп. Це зокрема пояснюється тим, що дослідження в даному напрямку пов’язані з набагато більш серйозними труднощами, ніж у випадку поліциклічних груп. Наприклад, як показав Ф.Холл, групові кільця поліциклічних груп нетерові і це надає змогу застосовувати потужні методи теорії нетерових кілець і модулів. У загальному ж випадку розв'язних груп скінченного рангу застосування цих методів виявляється неможливим. У зв'язку з цим Дж.Вілсон відзначав складність розглянутої тематики, а також практично повну відсутність будь-яких методів, придатних для досліджень у даному напрямку. Саме розробці таких методів присвячена значна частина поданої дисертації і завдяки викладеним у ній результатам можна стверджувати, що тепер ці методи існують.

Нехай -кільце, нехай - група і нехай - її підгрупа. Нехай - правий -модуль. Оскільки будова модуля

(1)

однозначно визначається будовою підмодуля , то результати про індуковані модулі відіграють важливу роль у теорії зображень. У випадку нільпотентної групи скінченного рангу співвідношення (1) є особливо корисним у випадку , коли - скінченно породжена щільна підгрупа групи . Якщо група має скінченний вільний ранг , то співвідношення (1) відіграє дуже важливу роль, якщо одночасно з ним виконується і співвідношення

(2),

оскільки в цьому випадку можна використовувати індукцію за вільним рангом групи . Щоб використовувати ці методи при вивченні модулів над розв'язними групами скінченного рангу в розділі 4:

знайдено зв'язок між теорією Куммера та індукованими зображеннями абелевих груп скінченного рангу;

введено поняття сепаратора модулів, що надає змогу досліджувати індуковані зображення розв'язних груп скінченного рангу;

знайдено умови, за яких зображення нільпотентних груп скінченного рангу індуковані з ізольованих підгруп;

знайдено умови, за яких зображення нільпотентних груп скінченного рангу індуковані з щільних підгруп;

знайдено умови, за яких для модулів над груповими кільцями розв'язних груп скінченного вільного рангу виконуються співвідношення (1) і (2).

При доведенні результатів розділу 4 важливу роль відіграє введене в розділі 3 поняття комутативних інваріантів модулів над мінімаксними нільпотентними групами, при цьому:

введене поняття локальної вимірності Крулля й описані її властивості;

описано властивості інваріантних ідеалів групових кілець нільпотентних груп скінченного рангу з операторами;

побудована і досліджена система інваріантів модулів над мінімаксними нільпотентними групами, яка складається з простих ідеалів комутативного кільця.

У розділі 5 з використанням методів, розроблених у розділі 4, вивчаються модулі над розв'язними групами скінченного рангу, при цьому:

• описано будову нетерових модулів над абелевими групами скінченного рангу;

  описано будову мінімально нескінченних модулів над нільпотентними групами скінченного рангу, а також будову мінімально нескінченних модулів над розв'язними групами скінченного вільного рангу у випадку, коли адитивна група модуля без скруту;

  описано будову модулів мінімально нескінченного рангу над метабелевими групами скінченного рангу.

  У розділі 6 вивчаються незвідні зображення груп з умовами скінченності і їхніх групових алгебр:

  • доведено, що в класі розв'язних груп скінченного рангу з умовою максимальності для нормальних підгруп тільки поліциклічні групи можуть мати точні примітивні незвідні зображення над полем нульової характеристики;

    знайдено критерії існування точних незвідних зображень локально поліциклічних груп скінченного рангу і локально нормальних груп над локально скінченним полем;

    доведено, що метабелеві групи скінченного рангу, що не мають скінченного числа твірних, можуть мати точні незвідні зображення над скінченними полями;

    доведено, що групова алгебра метабелевої групи скінченного рангу над полем нульової характеристики тоді і тільки тоді є примітивною, коли її FC-центр є тривіальним;

    доведено теорему про нулі для групових алгебр метабелевих груп скінченного рангу.

    У розділі 7 отримані теоретико модульні результати застосовуються до вивчення розв'язних груп; при цьому :

    • описано будову деяких класів метабелевих груп зі слабкою умовою мінімальності для нормальних підгруп а також будову фінітно апроксимовних розв'язних груп без скруту зі слабкою умовою мінімальності для нормальних підгруп;

      описано будову метабелевих -мінімаксних груп;

      описано будову розв'язних груп мінімально нескінченного рангу з метабелевим фіттінговим фактором;

      введене поняття мінімально не FC-груп і описано будову розв'язних періодичних мінімально не FC-груп.

      На закінчення варто відзначити, що розроблені в поданій роботі методи безумовно будуть дуже корисними для подальших досліджень в області теорії зображень груп з умовами скінченності та пов'язаних з ними модулів над груповими кільцями.

Публікації автора:

1. Kурдаченко Л.А., Тушев А.В. Двуступенно разрешимые группы со слабым условием минимальности для нормальных подгрупп // Укр. мат. журн. - 1985. -37, № 3. - С. 300-306.

2. Курдаченко Л.А., Тушев А.В. О некоторых классах групп со слабым условием

минимальности для нормальных подгрупп // Укр. мат. журн. – 1985. - 37, № 4. - С. 457-462.

3. Зайцев Д.И., Курдаченко Л.А. , Тушев А.В. Модули над нильпотентными группами конечного ранга // Алгебра и логика. - 1985. - 24, №6. - С. 631-666.

4. Тушев А.В. Условие Min--N и связанные с ним представления разрешимых групп // Укр. мат. журн. – 1990. - 42, № 5. - С.677-681.

5. Тушев А.В. Неприводимые представления локально-полициклических групп над абсолютным полем // Укр. мат.журн. - 1990. - 42, № 10. - С.1389-1394.

6. Kurdachenko L.A., Tushev A.V., Zaitsev D.I. Noetherian modules over nilpotent groups of finite rank //Arch. Math. - 1991. - 56. - P.433-436 .

7. Тушев А.В. Нетеровы модули над абелевыми группами конечного свободного ранга // Укр. мат. журн. - 1991. - 43, №7,8 .- С.1042-1048.

8. Тушев А.В. Минимально бесконечные модули над локально полициклическими группами конечного ранга // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. –Киев: Ин-т мат. НАН Украины, - 1993.-С.312-325.

9. Тушев А.В. О разрешимых группах, все собственные фактор-группы которых имеют конечный ранг // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, №9. - С.1274-1281.

10.Тушев А.В. О точных неприводимых представлениях локально нормальных групп // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, №12. - С.1688-1694.

11.Тушев А.В. О разрешимых группах, чьи конечные гомоморфные образы имеют ограниченный ранг // Мат. заметки. - 1994. - 56, № 5. - С. 136-139.

12.Тушев А.В. Об идеалах групповой алгебры свободной группы степени свободы 2 над полем комплексных чисел // Укр. мат.журн. - 1995. - 47, № 4. - С. 571-572.

13.Тушев А.В.. О примитивности групповых алгебр некоторых классов разрешимых групп конечного ранга // Мат. сб. - 1995.- 186, № 3. - С.143-160.

14.Tushev A.V. Spectra of conjugated ideals in group algebras of abelian groups of finite rank and control theorems // Glasgow Math. J. - 1996. - 38. - P. 309-320.

15.Tushev A.V. On modules over group rings of soluble groups of finite rank // London Math. Soc. Lecture Note. Ser.- 1999. - 261.- P.718-727.

16.Тушев A.В. О неприводимых представлениях групповых алгебр линейных групп // Докл. АН России.- 1999. - 368, № 6. - C. 740-741.

17.Тushev A.V. Induced modules over group algebras of metabelian groups of finite rank //Commun-s Algebra. - 1999. - 27, № 12. - P.5921-5938.

18.Тушев A.В. O примитивных представлениях разрешимых групп конечного ранга // Мат. сб. - 2000. - 191, № 11. - P.117-160.

19.Тушев A.В. On the Fitting subgroup of soluble groups just of infinite rank // Допов. НАН України. - 2001. - № 10. - C.45-47.

20.Тушев А.В. Primitive representations of certain soluble groups of finite rank // Допов. НАН Укрїни. - 2001. - № 11.- C.33-35.

21.Тушев А.В. О полупримитивных представлениях конечно порожденных метабелевых групп // Віс. Дніпропетров. ун.: Математика.- 2001. - №6. - C. 128-130.

22.Тушев A.В. Минимально бесконечные модули над метабелевыми группами конечного ранга // Мат. сб. - 2002. - 193, № 5. - С. 129-148.

23.Тушев A.В. О нетеровых модулях над минимаксными абелевыми группами // Укр. мат.журн. - 2002. - 54, № 7. - С. 969-980.

24.Тушев A.В. О примитивных представлениях минимаксных нильпотентных групп // Мат. заметки.- 2002. - 72, № 1. - C.131-144.

25.Тушев A.В. О разрешимых группах c собственными фактор-группами конечного ранга // Укр. мат. журн. - 2002.- 54, № 11. - С. 1560-1568.